布爾值模型

在數理邏輯中，布爾值模型是普通的塔斯基主義者的結構或模型概念的推廣，在其中命題的真值不被限定為"真"和"假"，而是從某個固定的完全布爾代數中取值，布爾值模型是 Dana Scott、Robert M. Solovay 和 Petr Vopěnka 在1960年代為了幫助理解 Paul Cohen 的力迫方法而介入的。

定義

固定一個完全布爾代數 B 和一階語言 L，後者由一組常量符號、函數符號和關係符號構成。L 的布爾值模型因此就由全集 M，它是元素(或名字)的集合，和對這些符號的釋義組成。特別是，這個模型必須為 L 的每個常量符號指派一個 M 的元素，並為 L 的每個 n-元函數符號 f 和 n-元組 <a₀,...,a_n-1> 中的每一個指派 M 的元素，這個模型必須為項 f(a₀,...,a_n-1) 指派 M 的元素。

關係符號和等式的釋義是更加複雜的: 對 M 每對元素 a, b，模型必須為表達式 a=b 指派一個真值 ||a=b|| ；這個真值取自 B。類似的，對於 L 的每個 n-元關係符號 R 和 n-元組 <a₀,...,a_n-1> 中的每一個指派 M 的元素，這個模型必須指派 B 的一個元素為 ||R(a₀,...,a_n-1)|| 的真值。

需要寫些文字來解釋在釋義等式上的額外限制，保證它是等價關係並且這個關係顧及了等價事物的代換。

其他公式和句子的釋義

其他公式可以使用布爾代數來釋義；對於命題連結詞這是很容易的；你可以簡單的在子公式的真值上應用對應的布爾運算符。例如，如果 φ(x) 和 ψ(y,z) 分別是帶有一個和兩個自由變量的公式，並且是要代換 x、y 和 z 為模型的全集的元素 a、b 和 c，則

$\phi (a)\land \psi (b,c)$

的真值簡單的是

$||\phi (a)\land \psi (b,c)||=||\phi (a)||\ \land \ ||\psi (b,c)||$

對於量化的公式，我們需要利用布爾代數 B 的完全性。如果 φ(x) 是帶有自由變量 x(可能還有其他我們忽略的自由變量)，則

$||\exists x\phi (x)||=\bigvee _{a\in M}||\phi (a)||$

這裡右手端要被理解為在 B 中所有真值 ||φ(a)|| 的上確界，這裡 a 的範圍在 M 之上。

一個公式的真值有時被稱為它的可能性。它不能理解為一般意義上概率，它們不是實數而是完全布爾代數的 B 的元素。

集合論的布爾值模型

給定一個完全布爾代數 B，有一個指示為 V^B 的布爾值模型，它是馮·諾伊曼全集 V 的布爾取值的類似者。(嚴格的說，V^B 是真類，所以我們需要適當的重新解釋對於模型意味着什麼)。非形式的說，我們認為 V^B 是像「布爾值集合」的某種東西；換句話說，布爾值集合，不再有定義分明的元素和非元素，而有帶有是這個集合的元素的特定「可能性」的對象。這個「可能性」是 B 的一個元素，不是實數。這不同於模糊集合的概念。

布爾值集合的(「可能的」)元素，依次也是布爾值集合，它的元素也是布爾值集合，以此類推。要得到布爾值集合的非循環定義，我們需要有層次的建造它們。所以對於 V 的每個序數 α 我們定義集合 V_α^B 為:

V_α^B 是 β<α 的 V_β^B 的併集，如果 α 是極限序數(包括 0)。

V_α+1^B 是從 V_α^B 到 B 的所有函數的集合。(這種函數表示 V_α^B 的「可能的」子集；如果 f 是這種函數，則對於任何 x∈V_α^B，f(x) 是 x 在這個集合中的可能性)。

我們定義類 V^B 是所有集合 V_α^B 的併集。

有可能相對化這個完整構造於 ZF (或者有時它的片段)的某個傳遞模型 M。在這種情況下我們通過應用上述構造於 M 內部而構造布爾值模型 M^B。對傳遞模型的限制是不嚴重的，因為Mostowski塌陷引理蘊涵了所有合理的(良基的外延)模型同構於傳遞模型。(如果模型 M 不是傳遞事物而使其變得更加雜亂，因為 M 對什麼意味着是「函數」或「集合」的釋義可能不同於「外延」釋義)。

接着我們需要在集合 V^B 上定義兩個 B-值的等於關係和成員關係。(在 V^B 上的 B-值關係是從 V^B×V^B 到 B 的函數)。為了避免混淆於通常的等式和成員關係，對於在 V^B 中的 x 和 y，它們指示為 ||x=y|| 和 ||x∈y||。它們定義如下:

||x∈y|| 被定義為 ∑_t∈Dom(y) ||x=t|| ∧ y(t)   ("x 在 y 中如果它等於在 y 中的某個東西")

||x=y|| 被定義為 ||x⊆y||∧||y⊆x||   ("x 等於 y 如果 x 和 y 相互都是對方的子集")，這裡的

||x⊆y|| 被定義為 ∏_t∈Dom(x) x(t)⇒||t∈y||   ("x 是 y 的子集如果所有 x 的元素都在 y 中")

符號 ∑ 和 ∏ 意味着我們在完全布爾代數 B 中採用最小上界和最大下界。第一眼看來上述定義好像是循環的: ||  ∈ || 倚賴於 || = ||，它依賴於 || ⊆ ||，它依賴於 || ∈ ||。但是閉合檢查證實了 || ∈ || 的定義只對於更小階的元素依賴於 || ∈ ||，所以 || ∈ || 和 ||  = || 是從 V^B×V^B 到 B 的良好定義的函數。

最後我們需要檢查在 V^B 上的這兩個 B-值的關係 || ∈ || 和 || = || 使 V^B 成為集合論的布爾值模型。沒有自由變量的每個一階集合論的句子都在 B 中有一個值，我們需要檢查等式的所有公理和 ZF 集合論的所有公理(沒有自由變量的)有 B 的元素「真」的值。這是直接了當的，但是要花很長時間因為有很多不同的公理需要檢查。

引用

• Bell, J. L. (1985) Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory, Oxford. ISBN 978-0-19-853241-5
• Jech, Thomas. Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. 2002. ISBN 978-3-540-44085-7. 
• Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. 1980. ISBN 978-0-444-85401-8. 
• Kusraev, A. G. and S. S. Kutateladze. Boolean Valued Analysis. Kluwer Academic Publishers. 1999. ISBN 978-0-7923-5921-0.  Contains an account of Boolean-valued models and applications to Riesz spaces, Banach spaces and algebras.
• Manin, Yu. I. A Course in Mathematical Logic. Springer. 1977. ISBN 978-0-387-90243-2.  Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.

參見

• 模型論
• 布爾值函數