希爾伯特第十六問題

希爾伯特第十六問題，是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份：

哈納克在1876年證明了一個平面上 $n$ 次實代數曲線最多有 ${\frac {n^{2}-3n+4}{2}}$ 個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質，並將哈納克的估計推廣到空間裡的實代數曲面。

給定二元 $n$ 次實多項式 $P(x,y),Q(x,y)$ ，考慮下述平面上的動力系統

$\left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=P(x,y)\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=Q(x,y)\end{array}}\right.$

希爾伯特提議研究其極限環的最大數目及其拓撲。

總而言之，此問題意在研究由實多項式定義出的拓撲結構。在第一部份，我們考慮實多項式的零點；在第二部份，我們考慮實多項式定義的向量場及其積分曲線。

進展

希爾伯特第十六問題在1950年代末由蘇聯科學院院士伊萬·彼得羅夫斯基與葉夫根尼·蘭迪斯解決。但隨後他們的證明被證明存在漏洞。1980年，中國科學技術大學研究生史松齡，南京大學陳蘭蓀、王明淑分別獨立舉出反例，徹底推翻了二人的證明^[1]^[2]。因此第十六問題至今仍未解決。

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