平行

平行是一個幾何學術語。在平面幾何中，永遠不會相交的多條直線，或者多個平面彼此互相平行。在歐幾里得幾何中，由平行公設，一個平面上的直線外指定一個點，就能指定出一條與它平行的直線。在非歐幾何中，根據空間曲率的不同，在一條直線外指定一個點可以作多條或零條與它平行的直線。

a 和b平行，用t 截a 和b 會出現八個角。

在三維空間或一般的歐幾里得空間中，直線或平面的平行關係視乎其方向向量或法向量，但與二維平面一樣，在一條直線外面指定一個點也只能表示一條與它平行的直線，並且在一個平面外指定一個點也只能指定一個與它平行的平面。然而，在一個平面外指定一個點可以指定和它平行的直線是無數條（這些直線都在與它平行的唯一一個平面上）。

平行線

在歐幾里得空間中，直線的方向向量是一個單位向量$b$，使得原點到直線上所有點的向量都能表示為$a+\lambda b,\ \lambda \in \mathbb {R}$。若干個由方向向量$v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}$ 確定的直線相互平行當且僅當這些向量全部相等或只差一個正負號。

在歐幾里得空間中，平面的法向量是一個單位向量$e$，使得平面上所有的向量都與$e$垂直。直線與平面平行當且僅當直線不屬於平面，並且直線的方向向量與平面的法向量垂直。而平面與平面相互平行當且僅當它們的法向量相等或只差一個正負號。

平面解析幾何中的平行

在笛卡兒坐標系中，設兩條直線的表達式為：

$({\mathcal {D}}_{1}):a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$

$({\mathcal {D}}_{2}):a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$

那麼兩條直線$({\mathcal {D}}_{1})$ 與$({\mathcal {D}}_{2})$ 平行當且僅當$a_{1}b_{2}=b_{1}a_{2}$，並且$a_{1}c_{2}\neq c_{1}a_{2}$（否則兩直線重合）。

角度關係

平面上，用一條直線截另外兩條直線線時，會截出兩個交點，構成八個角，稱為三線八角。這八個角中有對頂角、同位角、同旁內角、同旁外角、內錯角和外錯角這幾種關係。當所截的兩條直線平行時，這些角有相等或互為補角（相加等於180°度）的關係。這些角度關係對解決平面幾何問題十分有用。

外部連結

• Constructing a parallel line through a given point with compass and straightedge （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參見

• 垂直