幺正算符

在泛函分析中，幺正算符（英語：unitary operator，或稱酉算符）是定義在希爾伯特空間上的有界線性算符U : H → H，滿足如下規律：

U^{*}U=UU^{*}=I

其中 U^∗ 是 U的厄米轉置, 而 I : H → H是恆等算符。幺正算符具有如下性質：

U 保持了希爾伯特空間上內積〈 , 〉的不變性, 即對於希爾伯特空間上的任意矢量 x和y ,都有: $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .$
U 是滿射的。

這兩個條件還可以用兩個較弱的但是等價的定義表示出來：

U保持內積不變可以推出U是個有界線性算符；而U是稠集保證了U的逆U⁻¹的存在。而U⁻¹ = U^∗是很明顯的。

所以，幺正算符是希爾伯特空間的自同構，即幺正算符保持空間結構的不變，比如說空間的線性疊加性和內積以及拓撲性質的不變。在群論中，一個給定希爾伯特空間H上的所有幺正算符組成了該空間的希爾伯特群，表示為Hilb(H)。

較弱的條件U^∗U = I說明算符U是等距算符。另一個條件U U^∗ = I說明算符是伴同等距算符^[1]。

單位元 是單位算符的一般化形式。在單位元*-代數中，其中的單元U 被叫做單位元, 當滿足如下條件：

U^{*}U=UU^{*}=I

其中 I 是單位算符。^[2]

範例

在一個複數的矢量空間C里，乘以一個絕對值是1的數，也就是，一個數形式為 e^{i θ} ，其中θ ∈ R，就是一個幺正算符。θ表示一個相位，相乘就是指乘以一個相位。注意到，θ的值是以2π 為模，但並不影響我們相乘的結果，所以這些在C空間內獨立的幺正算符是有周期性的。作為一個集合，這個周期對應的群，我們稱作U(1)。

一般地說，酉矩陣是在有限維的希爾伯特空間下的幺正算符，所以，幺正算符的概念包括了酉矩陣的概念。正交矩陣就是酉矩陣的一個特例，當酉矩陣中元素都為實數。他們是在Rⁿ上的幺正算符。

在整數索引的序列空間 $\ell ^{2}$ 上的雙邊變換算符（英語：shift operator）是單一的。一般而言，在一個希爾伯特空間中任何一個通過圍繞標準正交基變換作用的算符都是單一的。在有限維的情況下，這樣的算符就是排列矩陣。單邊變換（英語：shift operator）是一個等距算子（isometry），他的共軛是一個半同等距算子（coisometry）。