開映射定理
在泛函分析中,開映射定理(open mapping theorem,亦稱巴拿赫-紹德定理 (Banach–Schauder theorem) 或巴拿赫定理 (Banach theorem))是一個基本的結果,它說明如果巴拿赫空間之間的連續線性算子是滿射的,那麼它就是一個開映射。更加精確地(Rudin 1973,定理2.11):
該定理的證明用到了貝爾綱定理,X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦范空間,那麼定理的結論就不一定成立。然而,如果X和Y是弗雷歇空間,那麼定理的結論仍然成立。
結果
編輯開映射定理有一些重要的結果:
- 如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性算子,那麼逆算子A-1 : Y → X也是連續的。(Rudin 1973,推論2.12)
- 如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的線性算子,且如果對於X內的每一個序列(xn),只要xn → 0且Axn → y就有y = 0,那麼A就是連續的(閉圖像定理)。(Rudin 1973,定理2.15)
證明
編輯我們需要證明,如果A : X → Y是巴拿赫空間之間的連續線性滿射,那麼A就是一個開映射。為此,只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。
設U,V分別為X和Y內的單位球。那麼X是單位球的倍數k U的序列的併集,k ∈ N,且由於A是滿射,
根據貝爾綱定理,巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的併集,故存在k > 0,使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此,存在一個開球B(c, r),其中心為c,半徑r > 0,包含在A(kU)的閉包內。如果v ∈ V,那麼c + r v和c位於B(c, r)內,因此是A(k U)的極限點,根據加法的連續性,它們的差rv是A(k U) − A(k U) ⊂ A(2k U)的極限點。根據A的線性,這意味着任何v ∈ V都位於A(δ −1 U)的閉包內,其中δ = r / (2k)。於是可以推出,對於任何y ∈ Y和任何ε > 0,都存在某個x ∈ X,滿足:
- 且
固定y ∈ δ V。根據(1),存在某個x 1,滿足||x 1|| < 1且||y − A x 1|| < δ / 2。定義序列{xn}如下。假設:
- 且
根據(1),我們可以選擇x n +1,使得:
- 且
因此x n +1滿足(2)。設
從(2)的第一個不等式可知,{sn}是一個柯西序列,且由於X是完備的,sn收斂於某個x ∈ X。根據(2),序列A sn趨於y,因此根據A的連續性,有A x = y。而且:
這表明每一個y ∈ δ V都屬於A(2 U),或等價地,X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2) V。因此,A(U)是Y內0的鄰域,定理得證。
推廣
編輯X 或Y 的局部凸性不是十分重要的,但完備性則是:當X和Y是F空間時,定理仍然成立。更進一步,這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合(Rudin,定理2.11):
更進一步,在這個情況中,如果N是A的核,那麼A有一個標準分解,形如下式:
其中X / N是X對閉子空間N的商空間(也是F空間)。商映射X → X / N是開放的,且映射α是拓撲向量空間的同構(Dieudonné,12.16.8)。
參考文獻
編輯- Rudin, Walter, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973, ISBN 0-07-054236-8
- Dieudonné, Jean, Treatise on Analysis, Volume II, Academic Press, 1970
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