德魯德模型

電傳導的德魯德模型在1900年 由保羅·德魯德提出，以解釋電子在物質（特別是金屬）中的輸運性質。這個模型是分子運動論的一個應用，假設了電子在固體中的微觀表現可以用經典的方法處理，很像一個彈珠台，其中電子不斷在較重的、相對固定的正離子之間來回反彈。

德魯德模型中的電子（藍色）不斷在較重的、靜止的晶體離子中間（紅色）徘徊。

德魯德模型的兩個最重要的結果是電子的運動方程：

${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=q\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }},$

以及電流密度$J$與電場$E$之間的線性關係：

$\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .$

在這裡，$t$代表時間，$p$、$q$、$n$、$m$和$\tau$分別代表電子的動量、電荷、數密度、質量、以及與離子碰撞之間的平均自由時間。後一個表達式尤其重要，因為它用半定量的術語解釋了為什麼歐姆定律（電磁學中最普遍存在的一個關係）應該是正確的。

解釋

直流電場

德魯德模型最簡單的分析，假設了電場$\mathbf {E}$既是均勻的又是恆定的，且電子的熱速度足夠大，使得它們在碰撞之間僅僅積累了無窮小的動量$d\mathbf {p}$，這平均每隔$\tau$秒發生一次。

於是，在時間$t$分離的電子自從它上一次碰撞將平均運動了$\tau$秒，因此將積累了動量：

$d\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$

在它上一次碰撞期間，這個電子向前面反彈的機會將剛剛與向後面反彈的機會相等，因此所有對電子動量的之前的貢獻都可以忽略，便得到表達式：

$\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$

代入以下關係：

$\langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,$

$\mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,$

便得出上面提到的歐姆定律的表述：

$\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .$

時變分析

電子的運動也可以通過引入一個有效的阻力來描述。在時間$t=t_{0}+dt$，電子的平均動量將為：

$\langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} dt+...\right),$

由於平均來說，$(1-dt/\tau )$個電子將不經歷另外一次碰撞，而那些經歷另外一次碰撞的電子將對總的動量僅有可忽略的貢獻。

經過一番計算，便得出以下的微分方程：

${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$

其中$\langle \mathbf {p} \rangle$表示平均動量，m表示有效質量，q表示電子的電荷。這是一個非齊次微分方程，它的通解為：

$\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} +\mathbf {C} e^{-t/\tau }$

於是，穩態解（${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} \rangle =0$）為：

$\langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} ,$

像上面一樣，平均動量可以與平均速度有關，而這又可以與電流密度有關：

$\langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,$

$\mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,$

於是可以證明，物質滿足歐姆定律，其直流電電導率為$\,\sigma _{0}$：

$\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .$

德魯德模型還可以預言在角頻率為$\,\omega$的時變電場的響應下的電流，在這種情況下：

$\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}.$

這裡假設了

$E(t)=\Re (E_{0}e^{i\omega t});$

$J(t)=\Re (\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}).$

還存在另一種慣例，所有方程中的$\,i$都用$\,-i$來代替。虛數部分表示電流落後於電場，這是由於電子大約需要時間$\,\tau$來對電場的變化作出響應。這裡德魯德模型是應用於電子的；它既可以應用於電子，又可以應用於空穴，也就是說，半導體中的正電荷載流子。

模型的準確性

這個簡單、經典的德魯德模型提供了金屬中的直流電和交流電傳導、霍爾效應，以及熱傳導的非常好的解釋。這個模型也解釋了1853年發現的魏德曼-弗朗茨定律。然而，它大大高估了金屬的電子熱容。實際上，金屬和絕緣體在常溫下的熱容大致上相等。雖然模型可以應用於正電荷（空穴）載流子，像霍爾效應所驗證的那樣，它並不預言它們的存在。

德魯德在最初的論文中犯了一個概念性的錯誤，他估計電導率僅有實際值的一半。

參見

• 自由電子模型
• 阿諾·索末菲
• 經典和量子傳導
• 電導率