戴爾指數

戴爾指數（英語：Theil Index）又稱為泰爾指數，是一個衡量經濟不平等的統計量。它也曾經用來衡量其他社會不平等現象，如種族隔離。

戴爾指數主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的。戴爾指數等於資訊冗餘，也就是資料最大可能資訊熵減去觀測到的資訊熵，它是廣義熵指數的特例，可以被視為冗餘度、單樣性、不平等、非隨機性和可壓縮性的度量。

戴爾指數最早由荷蘭鹿特丹伊拉斯姆斯大學的計量經濟學家亨利·戴爾（Henri Theil）所提出。

數學公式

假設一個人口為N的群體，其收入分別為x_i (i = 1,...,N)，則它的戴爾指數T定義為：

$T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\mu }}\ln \left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)$

而戴爾指數L則定義為

$T_{L}=T_{\alpha =0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln \left({\frac {\mu }{x_{i}}}\right)$

其中$x_{i}$為第$i$個人的收入，${\mu }$為平均收入，$N$為人口數量。加總符號中的第一項可以理解為個人在總收入中所占的比例，第二項為該個人相對於均值的收入。

如果收入分布是個離散分布函數 f_k (k = 0,...,W)，其中f_k是收入為k的人口比例，而W = Nμ 代表總收入，可以得知 $\sum _{k=0}^{W}f_{k}=1$ 。 它的戴爾指數T定義為：

$T_{T}=\sum _{k=0}^{W}\,f_{k}\,{\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)$

這裡的$\mu$一樣是收入平均

$\mu =\sum _{k=0}^{W}kf_{k}$

其中應注意到收入k是一個整數，k=1代表最小收入增量（比如新台幣1元）。

如果收入分布是個連續分布函數f(k)，k取值0到無窮，其中f(k) dk 是收入為k 到 k + dk的人口數量，那戴爾指數T定義為：

$T_{T}=\int _{0}^{\infty }f(k){\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)dk$

其中平均$\mu$為：

$\mu =\int _{0}^{\infty }kf(k)\,dk$

一些常見連續概率分佈的戴爾指數如下表所示：

收入分布函數	PDF(x) (x ≥ 0)	戴爾指數（納特）
狄拉克δ函數	$\delta (x-x_{0}),\,x_{0}>0$	0
連續型均勻分布	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$	$\ln \left({\frac {2a}{(a+b){\sqrt {e}}}}\right)+{\frac {b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ln(b/a)$
指數分布	$\lambda e^{-x\lambda },\,\,x>0$	$1-$ $\gamma$
對數常態分布	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{(-(\ln(x)-\mu )^{2})/\sigma ^{2}}$	${\frac {\sigma ^{2}}{2}}$
帕累托分布	${\begin{cases}{\frac {\alpha k^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq k\\0&x<k\end{cases}}$	$\ln(1\!-\!1/\alpha )+{\frac {1}{\alpha -1}}$    (α>1)
卡方分布	${\frac {2^{-k/2}e^{-x/2}x^{k/2-1}}{\Gamma (k/2)}}$	$\ln(2/k)+$ $\psi ^{(0)}$$(1\!+\!k/2)$
伽瑪分布	${\frac {e^{-x/\theta }x^{k-1}\theta ^{-k}}{\Gamma (k)}}$	$\psi ^{(0)}$$(1+k)-\ln(k)$
韋伯分布	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}$	${\frac {1}{k}}$ $\psi ^{(0)}$$(1+1/k)-\ln \left(\Gamma (1+1/k)\right)$

如果每一個人都有相同的收入，即等於均值，則指數為零。如果某個個人擁有所有的收入，則指數為$\ln {N}$。T_T 除以$\ln N$ 可以將方程歸一化到0到1的範圍，但這樣違反獨立公理: $T[x\cup x]\neq T[x]$並不符合衡量不平等的標準。

信息論推導

戴爾指數導自克勞德·夏農的信息熵，他的一般數學形式為：

$S=k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {\frac {1}{p_{i}}}\right)=-k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {p_{i}}\right)$

其中 $p_{i}$是從人群裡找到$i$的機率。$k$是玻爾茲曼常數。在信息論中，當信息以二進制數字給出時，$k=1$並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中，選擇自然對數作為對數基底。當$p_{i}$替換成人均收入$x_{i}$時，需要除以總收入達到歸一化$N{\overline {x}}$。那可以導出，觀察到的信息熵為：

$S_{\text{Theil}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{N{\overline {x}}}}\ln {\frac {N{\overline {x}}}{x_{i}}}\right)$

設$T$為戴爾指數，$S$為夏農熵，則有

$T=\ln(N)-S$

其中，ln(N)是理論最大熵。香濃根據事件發生概率導出的其熵測度。它可以用戴爾係數解釋為自某個特定個人處隨機取得一塊錢的概率。並與其第一項，即總收入中個人所占份額相同。

符號	信息論	戴爾指數 TT
$N$	字符數	人口數
$i$	某個特定字符	某個特定人
$x_{i}$	第i個字符 character	第i個人的收入
$N{\overline {x}}$	總字符數	總收入
$T_{T}$	未被使用的資訊空間	未使用潛在價格機制

可分解性

戴爾指數的一個優點是它是某個子群體中不平等的加權和。例如，美國國內的不平等就是每個州的不平等的加權和，由該州收入相對於國家總收入的比值來加權。

如果人口被劃分為$m$個子群體，$s_{k}$ 為群體$k$ 的收入比例，$T_{k}$為該子群體的戴爾指數，而 ${\overline {x}}_{k}$ 為子群體 $k$的平均收入，則戴爾指數為

$T=\sum _{k=1}^{m}s_{k}T_{T_{k}}+\sum _{k=1}^{m}s_{k}\ln {\frac {{\overline {x}}_{k}}{\overline {x}}}$

因此，我們可以說某個特定群體給總體「貢獻了」一定數量的不平等。

另外一個被廣泛使用的不平等度量為基尼係數，該係數對於很多人來說由於基於勞倫茨曲線而非常直觀。但是它卻沒有戴爾指數容易分解。

外部連結

• 德克薩斯大學戴爾指數簡介 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
• 試算表: Income inequality metrics#Spreadsheet computations
• 免費在線計算器 計算基尼係數，繪製洛倫茲曲線，並為任何數據集計算許多其他濃度測量值
• Free Calculator: Online （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
• Users of the R （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
• MATLAB 不平等包 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。MATLAB不平等包，其中包括用於計算基尼，阿特金森，泰爾指數和標繪洛倫茨曲線的代碼