數學上，普呂克坐標是將射影三維空間中的每條線給予6個齊次坐標，也就是一個射影5維空間中的一點。普呂克坐標由尤利烏斯·普呂克於1844年給出。
令L為一直線，穿過點 p ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle p(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})} 和點 q ( y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ) {\displaystyle q(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})} 。
定義 p i j {\displaystyle p_{ij}} 為 ( x i x j y i y j ) = x i y j − x j y i {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}} 的行列式。
這蘊涵着 p i i = 0 {\displaystyle p_{ii}=0} 和 p i j = − p j i {\displaystyle p_{ij}=-p_{ji}} .
考慮六元組 ( p 01 , p 02 , p 03 , p 23 , p 31 , p 12 ) {\displaystyle (p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})} 。不是所有6個都可以同時為0，因為如果是的話，所有 ( x 0 x 1 x 2 x 3 y 0 y 1 y 2 y 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{0}&y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}} 的 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 子矩陣都是零，則該矩陣最多秩為1，這個p及q為不同點的假設不符。
p和q的選取對於6元組的影響只是一個非零因子，如下所示：
考慮 p ′ ( x 0 ′ , x 1 ′ , x 2 ′ , x 3 ′ ) {\displaystyle p'(x'_{0},x'_{1},x'_{2},x'_{3})} 和 q ′ ( y 0 ′ , y 1 ′ , y 2 ′ , y 3 ′ ) {\displaystyle q'(y'_{0},y'_{1},y'_{2},y'_{3})} 為L上不同點，其中 x i ′ = k 1 x i + l 1 y i {\displaystyle x'_{i}=k_{1}x_{i}+l_{1}y_{i}} 而 y i ′ = k 2 x i + l 2 y i {\displaystyle y'_{i}=k_{2}x_{i}+l_{2}y_{i}} 。 p'和q'不同的假設歸結為 k 1 l 2 − k 2 l 1 ≠ 0 {\displaystyle k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1}\neq 0} 。 可以檢驗： ( x i ′ x j ′ y i ′ y j ′ ) = ( k 1 l 1 k 2 l 2 ) ( x i x j y i y j ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x'_{i}&x'_{j}\\y'_{i}&y'_{j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}&l_{1}\\k_{2}&l_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}} 這樣， ( p 01 ′ , p 02 ′ , p 03 ′ , p 23 ′ , p 31 ′ , p 12 ′ ) = ( k 1 l 2 − k 2 l 1 ) ( p 01 , p 02 , p 03 , p 23 , p 31 , p 12 ) {\displaystyle (p'_{01},p'_{02},p'_{03},p'_{23},p'_{31},p'_{12})=(k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1})(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})}
稱W為所有PG(3,K)中的直線的集合。我們現在恰當地定義一個映射 α {\displaystyle \alpha } ：從W到一個K上的5維射影空間： α : W → P G ( 5 , K ) : L → L α = ( p 01 , p 02 , p 03 , p 23 , p 31 , p 12 ) {\displaystyle \alpha :W\rightarrow PG(5,K):L\rightarrow L^{\alpha }=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})}
和點
。
為
的行列式。
和
.
。不是所有6個都可以同時為0，因為如果是的話，所有
的
子矩陣都是零，則該矩陣最多秩為1，這個p及q為不同點的假設不符。
和
為L上不同點，其中
而
。 p'和q'不同的假設歸結為
。 可以檢驗：
這樣，
：從W到一個K上的5維射影空間：
