普遍化
普遍化(generalization)是數理邏輯裡一條極為常用的規則,直觀來說,這條規則在滿足一條件下,可以將原合式公式推廣成被全稱量化的版本。
視為元定理
編輯元定理 — 在 裡變數 都完全被約束,若
則有
就是一般所稱的普遍化。
視為推理規則
編輯普遍化可以視為謂詞演算的一條推理規則,也就是說:( 以下的 為任意變數, 為任意合式公式)
- 可以推出 。
也可以用相繼式表記為
但這個推理規則會嚴苛地限制演繹定理的適用範圍,如
不成立,因為無法確定變數 在 有沒有完全被約束(參見上面元定理一節)。這就破壞了元語言的"十字旋轉門"「 」跟邏輯語言的「 」間的聯繫。也就是說,直觀上「 以合式公式 為前提,根據推理規則和公理可以推出合式公式 」跟「根據推理規則和公理可以推出合式公式 」是等價的,但將普遍化視為推理規則就不免打破這個直觀聯繫。
證明的例子
編輯以下的證明是基於將普遍化視為推理規則 。
證明:
編號 | 公式 | 理由 |
---|---|---|
1 | 假設 | |
2 | 假設 | |
3 | 公理 PRED-1 | |
4 | 從 (1) 和 (3) 通過肯定前件 | |
5 | 公理 PRED-1 | |
6 | 從 (2) 和 (5) 通過肯定前件 | |
7 | 從 (6) 和 (4) 通過肯定前件 | |
8 | 從 (7) 通過普遍化 | |
9 | 總結 (1) 到 (8) | |
10 | 從 (9) 通過演繹定理 | |
11 | 從 (10) 通過演繹定理 |
步驟(10)中,因為 裡 完全被約束,所以可以套用演繹定裡,步驟(11)也是基於類似的理由。