本質上確界和本質下確界

本質上確界和本質下確界的概念與上確界和下確界有關，但前者與測度論的關聯性更大，其中通常要涉及不是處處都成立的命題^{[註 1]}，而是幾乎處處，也就是說，除了在測度為零的集合以外。

設(X, Σ, μ)為測度空間，並設f : X → R為定義在X上的實函數，它並不一定是可測的。實數a稱為f的上確界，如果對於X內的所有x，都有f(x) ≤ a，也就是說，集合

\{x\in X:f(x)>a\}

是空集。而a稱為本質上確界，如果集合

\{x\in X:f(x)>a\}

的測度為零，也就是說，對於X內的幾乎所有x，都有f(x) ≤ a。

更加正式地，f的本質上確界，ess sup f，定義為：

\mathrm {ess} \sup f=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)>a\})=0\}\,

如果本質上確界的集合 $\{a\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)>a\})=0\}$ 不是空集，否則ess sup f = +∞。

類似地，我們也可以定義本質下確界：

\mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}\,

如果本質下確界的集合不是空集，否則為−∞。

例子

在實數軸上，考慮勒貝格測度和它對應的σ代數Σ。用以下公式定義f：

f(x)={\begin{cases}5,&{\mbox{if }}x=1\\-4,&{\mbox{if }}x=-1\\2,&{\mbox{ otherwise. }}\end{cases}}

這個函數的上確界（最大值）是5，下確界（最小值）是−4。然而，函數只在集合{1}和{−1}內才取得這些值，它們的測度為零。在所有其它地方，函數的值為2。因此，函數的本質上確界和本質下確界都是2。

作為另外一個例子，考慮以下的函數：

f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&{\mbox{if }}x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}

其中Q表示有理數。這個函數既沒有上界也沒有下界，所以上確界和下確界分別是∞和−∞。但是，從勒貝格測度的角度來看，有理數集合的測度為零；因此，真正有關的是在這個集合的補集發生的事情，其中函數由arctan x給出。於是，函數的本質上確界是π/2，本質下確界是−π/2。

最後，考慮函數f(x) = x³對於所有的實數x。它的本質上確界是+∞，本質下確界是−∞。