在概率論中，柯爾莫哥洛夫二級數定理是關於隨機變量序列的無窮求和收斂性的定理。該定理以蘇聯數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫命名，可以用於證明強大數定律。
設 X n {\displaystyle X_{n}} 為獨立的隨機變量，如果 ∑ n = 1 ∞ Var ( X n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Var} (X_{n})} 有限，那麼 ∑ n = 1 ∞ ( X n − E [ X n ] ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(X_{n}-\operatorname {E} [X_{n}])} 幾乎必然收斂。
不妨假設 X n {\displaystyle X_{n}} 的期望值均為0。設 S n = ∑ i = 1 n X i {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} ，下面我們證明 lim sup n → ∞ S n − lim inf n → ∞ S n = 0 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }S_{n}-\liminf _{n\to \infty }S_{n}=0} 幾乎必然成立。從而 S n {\displaystyle S_{n}} 幾乎必然收斂。 對於任意正整數m ,
lim sup n → ∞ S n − lim inf n → ∞ S n = lim sup n → ∞ ( S n − S m ) − lim inf N → ∞ ( S N − S m ) ≤ 2 max k > m | ∑ i = m + 1 k X i | {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }S_{n}-\liminf _{n\to \infty }S_{n}=\limsup _{n\to \infty }\left(S_{n}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k>m}\left|\sum _{i=m+1}^{k}X_{i}\right|}
因此，對於任意 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} 和正整數m，都有 P ( lim sup n → ∞ S n − lim inf n → ∞ S n ≥ ε ) = P ( max k > m | ∑ i = m + 1 k X i | ≥ ε 2 ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }S_{n}-\liminf _{n\to \infty }S_{n}\geq \varepsilon \right)=\mathbb {P} \left(\max _{k>m}\left|\sum _{i=m+1}^{k}X_{i}\right|\geq {\frac {\varepsilon }{2}}\right)}
由柯爾莫哥洛夫不等式，
P ( max k > m | ∑ i = m + 1 k X i | ≥ ε 2 ) ≤ 4 ε 2 ∑ i = m + 1 ∞ Var ( X n ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\max _{k>m}\left|\sum _{i=m+1}^{k}X_{i}\right|\geq {\frac {\varepsilon }{2}}\right)\leq {\frac {4}{\varepsilon ^{2}}}\sum _{i=m+1}^{\infty }\operatorname {Var} (X_{n})}
由方差之和有限的假設，當 m → ∞ {\displaystyle m\to \infty } 時，上式右邊趨於0。這樣就證明了 lim sup n → ∞ S n − lim inf n → ∞ S n = 0 a.s. {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }S_{n}-\liminf _{n\to \infty }S_{n}=0{\text{ a.s.}}}
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(X_{n}-\operatorname {E} [X_{n}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbce98a649aa72bd9c4f9894ba1bf413a4203f7)
