柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學的基本定理之一。

內容

如果函數 $f(x)$ 及 $g(x)$ 滿足

那麼在 $(a,b)$ 內至少有一點 $\xi (a<\xi <b)$ ，使等式

{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}

或

柯西定理的幾何意義

(f(b)-f(a))g\,'(\xi )=(g(b)-g(a))f\,'(\xi )\,

成立。

其幾何意義為：用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行於兩端點所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線，因為可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,換句話說取某個值時位於曲線的駐點;在這些點處，曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),

在區間[−1,1]上，曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線;然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t = 0時。

柯西中值定理可以用來證明洛必達法則. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理當g(t) = t時的特殊情況。

首先，如果 $g(a)=g(b)$ ，由羅爾定理，存在一點 $x_{0}\in (a,b)$ 使得 $g'(x_{0})=0$ ，與條件3矛盾。所以 $g(a)\neq g(b)$ 。

令 $h(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g(x)$ 。那麼

$h$ 在 $[a,b]$ 上連續，
$h$ 在 $(a,b)$ 上可導，
$h(a)=h(b)={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}$ 。由羅爾定理，存在一點 $c\in (a,b)$ 使得 $h'(c)=0$ 。即 $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(c)$ 。命題得證。