核 (線性算子)

在線性代數與泛函分析中，一個線性算子 L 的核（英語：kernel，也稱作零空間，英語：null space）是所有使 L(v) = 0 的v的集合。這就是如果 L: V →W，則

\ker(L)=\left\{v\in V:L(v)=0\right\}{\text{,}}

這裡 0 表示 W 中的零向量。L 的核是定義域 V 的一個線性子空間。

一個線性算子 R^m → Rⁿ 的核與對應的 n × m 矩陣的零空間相同。

性質

映射L的核與像。

如果 L: V → W，則 V 中兩個元素在 W 中有相同的像當且僅當它們的差在 L 的核中：

L(v)=L(w)\;\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\;L(v-w)=0{\text{.}}

從而 L 的像同構於 V 被這個核的商空間：

{\text{im}}(L)\cong V/\ker(L){\text{.}}

當 V 是有限維的，這蘊含着秩-零化度定理：

\dim(\ker L)+\dim({\text{im}}\,L)=\dim(V){\text{.}}\,

當 V 是一個內積空間是，商 V / ker(L) 可以與 ker(L) 在 V 中的正交補等同。這是一個矩陣的行空間的線性算子的推廣。

L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+5x_{2}-3x_{3},\;4x_{1}+2x_{2}+7x_{3})

則 L 的核是方程組

{\begin{alignedat}{7}2x_{1}&&\;+\;&&5x_{2}&&\;-\;&&3x_{3}&&\;=\;&&0\\4x_{1}&&\;+\;&&2x_{2}&&\;+\;&&7x_{3}&&\;=\;&&0\end{alignedat}}

的解集。

L(f)=f(0.3){\text{.}}\,

則 L 的核由所有使得 f(0.3) =0 的函數 f ∈ C[0,1]。

D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}

則 D 的核由 C^∞(R) 中所有導數都是零的函數組成，即常值函數。

s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\text{.}}

則 s 的核是由所有向量 (x₁, 0, 0, ...) 組成的一維子空間。注意 s 是映上的，卻有非平凡的核。

如果 V 和 W 是拓撲向量空間（且 W 是有限維的），則一個線性算子 L: V → W 是連續的當且僅當 L 的核是 V 的一個閉子空間。