核 (線性算子)

線性代數泛函分析中,一個線性算子 L(英語:kernel,也稱作零空間,英語:null space)是所有使 L(v) = 0 的v的集合。這就是如果 L: VW,則

這裡 0 表示 W 中的零向量L 的核是定義域 V 的一個線性子空間

一個線性算子 RmRn 的核與對應的 n × m 矩陣零空間相同。

性質

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映射L的核與像。

如果 L: VW,則 V 中兩個元素在 W 中有相同的當且僅當它們的差在 L 的核中:

 

從而 L 的像同構V 被這個核的商空間

 

V 是有限維的,這蘊含着秩-零化度定理

 

V 是一個內積空間是,商 V / ker(L) 可以與 ker(L) 在 V 中的正交補等同。這是一個矩陣的行空間的線性算子的推廣。

例子

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  1. 如果 L: RmRn,則 L 的核是一個齊次線性方程組的解集。例如,如果 L 是算子:
 

L 的核是方程組

 

的解集。

  1. C[0,1] 表示區間 [0,1] 上所有連續實值函數組成的向量空間,定義 L: C[0,1]→ R
 

L 的核由所有使得 f(0.3) =0 的函數 fC[0,1]。

  1. C(R) 是所有無窮可微函數 RR 的向量空間,並設 D: C(R) → C(R) 是微分算子
 

D 的核由 C(R) 中所有導數都是零的函數組成,即常值函數

  1. R 是無窮個 R直和,並設 s: RR移位算子英語Shift operator
 

s 的核是由所有向量 (x1, 0, 0, ...) 組成的一維子空間。注意 s映上的,卻有非平凡的核。

  1. 如果 V 是一個內積空間W 是一個子空間,正交投影 VW 的核是 WV 中的正交補

泛函分析中的核

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如果 VW拓撲向量空間(且 W 是有限維的),則一個線性算子 L: VW連續的當且僅當 L 的核是 V 的一個子空間。

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