正則形式的博弈

在博弈論中，正則形式（Normal-form game）是描述博弈的一種方式。與延展形式不同，正則形式不用圖形來描述博弈，而是用矩陣來陳述博弈。與延展形式的表述方式相比，這種方式在識別出嚴格優勢策略和納什均衡上更有用，但會丟失某些信息。博弈的正則形式的表述方式包括如下部分：每個參與者所有顯然的和可能的策略，以及和與其相對應的收益。

在非完美信息的完全靜態博弈中，正則形式的表述方式詳細地說明了參與者策略空間和收益函數。策略空間是某個參與者的所有可能策略的集合。策略是參與者在博弈的每個階段——不管在博弈中這個階段實際上是否會出現——將要採取的行動的完整計劃。每個參與者的收益函數，是從參與者策略空間的向量積到該參與者收益集合（一般是實數集，數字表示基數效用或序數效用——在正則形式的表述方式中常常是基數效用）的映射。也就是說，參與者的收益函數把策略組合（所有參與者策略的清單）作為它的輸入量，然後輸出參與者的收益。

一個實例

*一個正則形式的博弈*
	乙選擇左	乙選擇右
甲選擇頂	4, 3	-1, -1
甲選擇底	0, 0	3, 4

有種博弈是參與者同時（或至少在做出行動前不觀察其他參與者的動作）做出行動，並按照上述已做出行動的組合獲得收益。右邊的矩陣是這種博弈得正則形式的表述方式。例如，如果甲做出行動「頂」，而乙做出行動「左」，則甲得到收收益4，乙得到收益3。在每個回合，第一個數字代表排參與者（此處為甲）的收益，第二個數字代表列參與者（此處為乙）的收益。

其他表述方式

對稱博弈（其收益不是依賴於參與者選擇的動作）常常被表述為只有一種收益，即豎排參與者的收益。例如，左右兩邊的收益矩陣表述的是同一個博弈。

*兩個參與者都有的*
	雄鹿	野兔
雄鹿	3, 3	0, 2
野兔	2, 0	2, 2

*只有豎排的*
	雄鹿	野兔
雄鹿	3	0
野兔	2	2

正則形式的使用

占優策略

*囚徒困境*
	合作	背叛
合作	2, 2	0, 3
背叛	3, 0	1, 1

收益矩陣有助於剔除劣勢策略，而且經常被用於說明這個概念。例如，在囚徒困境中（右圖），參與者會發現因為其他人的背叛，合作成了嚴格劣勢策略。參與者會比較每列的第一個數字，在這個例子中，3>2且1>0。這表明無論橫排參與者怎樣選擇，豎排參與者選擇背叛都比較好些。類似地，參與者會比較每列的第二個數字，同樣也是3>2且1>0。這說明無論豎排參與者怎麼做，橫排參與者選擇背叛都比較好些。這就證明了此博弈唯一的納什均衡是（背叛，背叛）。

正則形式的連續博弈

*一個連續博弈*
	左，左	左，右	右，左	右，右
頂	4, 3	4, 3	-1, -1	-1, -1
底	0, 0	3, 4	0, 0	3, 4

這些矩陣只表述同時（或者更一般地，信息是不完美的）做出行動的博弈。上述矩陣不能表述甲先做出行動，被乙觀察到，然後乙再做出行動的博弈。因為在這個例子中，無法確定乙每次的策略。為了表述這種連續博弈，我們要列出乙在博弈進行期間所有的行動——儘管根據實際情況，某種行動決不會出現。和前面一樣，在這個博弈中乙有兩種選擇，左和右。與前面不一樣的是，視甲的行動不同而定，乙有四種策略。這些策略是：

如果甲選擇頂，選擇左；否則，選擇左
如果甲選擇頂，選擇左；否則，選擇右
如果甲選擇頂，選擇右；否則，選擇左
如果甲選擇頂，選擇右；否則，選擇右

右圖是這個博弈的正則形式的表述方式。

一般形式

為了用把博弈表述成正則形式，需要提供下列數據：

表示參與者的有限集P，標記為{1,2,…,m}
每個參與者k在P里擁有有限個純策略

$S_{k}=\{1,2,\ldots ,n_{k}\}.$

一個純策略組合是參與者策略的聯合，這是一個m元組

${\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{m})$

則有

$\sigma _{1}\in S_{1},\sigma _{2}\in S_{2},\ldots ,\sigma _{m}\in S_{m}$

我們用Σ來表示策略組合的集合

收益函數形如

$F:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} .$

其預期解釋是博弈結束時給予單個參與者的獎品。相應地，為了完整地說明一個博弈，收益函數必須在參與者集 P= {1, 2, ..., m}中對每個參與者詳細說明。

定義：一個正則形式的博弈的結構形如

$(P,\mathbf {S} ,\mathbf {F} )$

這裡 P = {1,2, ...,m}是參與者集合，

$\mathbf {S} =(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{m})$

是純策略集合的一個m元組，每個純策略對應於一個參與者，而

$\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})$

是收益函數的m元組。

沒有理由在前面的討論中，把參與者數量有限或每個參與者的策略有限的博弈排除在外。因為要用到泛函分析的技巧，關於有限博弈的研究非常艱深。

參考文獻

D. Fudenberg and J. Tirole, Game Theory, MIT Press, 1991.
R. D. Luce and H. Raiffa, Games and Decisions, Dover Publications, 1989.
J. Weibull, Evolutionary Game Theory, MIT Press, 1996
J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of games and Economic Behavior, John Wiley Science Editions, 1964. This book was initially published by Princeton University Press in 1944.

外部連結

http://www.whalens.org/Sofia/choice/matrix.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）