正方形
邊長和內角相等的四邊形
在平面幾何學中,正方形是四邊相等且四個角是直角的四邊形[1]。正方形是正多邊形的一種:正四邊形。四個頂點為ABCD的正方形可以記為 ABCD。
正方形 | |
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![]() 一個正四邊形 | |
類型 | 正多邊形 |
對偶 | 正四邊形(本身) |
邊 | 4 |
頂點 | 4 |
對角線 | 2 |
施萊夫利符號 | {4} t{2} |
考克斯特符號 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
鮑爾斯縮寫 | square![]() |
對稱群 | 二面體群 (D4), order 2×4 |
面積 | |
內角(度) | 90° |
內角和 | 360° |
特性 | 凸、圓內接多邊形、等邊多邊形、等角多邊形、等邊圖形 |
性質
編輯面積和周長
編輯正方形的周長是它的邊長的4倍。如果邊長為a,那麼周長 。正方形的面積是其邊長的平方。如果邊長為a,那麼面積 。如果我們知道正方形的對角線長d,那麼我們也可以之計算面積 ,如果正方形邊心距為r,外接圓半徑是R,那麼 。, 。
對稱性
編輯正方形是一種高度對稱的平面圖形,它關於兩條對角線的交點中心對稱(這個點又被稱作正方形的中心)。它的對稱軸有四條,分別是對邊中點的連線以及兩條對角線。保持正方形不變的變換有8種,包括全等變換,以正方形中心為中心、角度為90度、180度和270度的旋轉,以及關於四條對稱軸的反射。這八個變換組成了一個群,是二面體群中的一個,記作D4。
全等變換,四個頂點都不變 |
r1(順時針90°旋轉) |
r2(180°旋轉) |
r3(順時針270°旋轉) |
fv垂直反射 |
fh水平反射 |
fd沿主對角線(左上至右下)反射 |
fc沿副對角線(右上至左下)反射 |
二面體群D4 |
正方形與無理數
編輯公元前五世紀時,畢達哥拉斯學派最早證明了正方形的對角線長度與邊長長度的比例: ,是無法表示為兩個自然數的公比的。
平面鑲嵌
編輯用同一種多邊形不重疊地將平面「鋪滿」,稱為平面的正鑲嵌圖。正方形是能夠組成平面的正鑲嵌圖的三種正多邊形之一(另外兩種分別是正三角形和正六邊形)。
參考文獻
編輯- ^ Euclid's Elements, Book I. mathcs.clarku.edu. [2017-10-21]. (原始內容存檔於2017-09-18).