水平集方法Level Set Method) 是一種用於界面追蹤和形狀建模數值技術.水平集方法的優點是可以在笛卡爾網格(Cartesian grid)上對演化中的曲線曲面進行數值計算而不必對曲線曲面參數化(這是所謂的歐拉法(Eulerian approach)).).[1]水平集方法的另一個優點是可以方便地追蹤物體的拓撲結構改變.例如當物體的形狀一分為二,產生空洞,或者相反的這些操作.所有這些使得水平集方法成為隨時間變化的物體建模的有力工具,例如膨脹中的氣囊, 掉落到水中的油滴.

水平集方法

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水平集方法示例

理解水平集方法的最簡單有效地方式是先學習相應的例子,然後學習技術性很強的定義.右側的圖片示例了水平集的幾個重要思想.在左上角有一個形狀--由一個良性邊界包圍的有界區域.在它的下面,紅色的曲面是相應的水平集函數 的圖像,  的某個水平面決定了左上角的形狀,假設其中的藍色平面即為x-y平面,則形狀的邊界可以表示為 的零水平集,並且該形狀是平面上滿足 大於等於零的點的集合.

在上面的一行,形狀改變其拓撲結構,分裂為兩個形狀.如果用邊界曲線參數表示形狀,這一演化過程是很難表達的.這需要一個算法能夠檢測到形狀分裂的時刻,然後為分裂後的曲線構造新的參數.另一方面,從下面的一行可以看出水平集函數僅僅是向下方移動了一點.由於在直接法中我們需要監視所有形狀可能發生的變化情況,水平集方法處理形狀曲線要比直接方法容易得多.

在二維情況下,水平集方法意味着將平面上的閉曲線  (正如示例中的形狀)表示為二維輔助函數 ,的零水平集

 

然後通過函數  隱式的處理曲線 .這一函數便被叫做水平集函數.假設 在曲線 的內部取正值,在曲線 的外部取負值. [2][3]

水平集方程

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如果零水平集以速度v沿着其法線運動,這一運動可以表示為水平集函數的哈密頓-雅可比方程Hamilton-Jacobi equation):

 

這是一個偏微分方程,並且可以求得數值解,例如可以在笛卡爾網格上採用有限差分法.

然而,水平集方程的數值解需要複雜的技術.簡單的有限差分法會很快導致不收斂. 迎風方法,諸如Godunov方法前進緩慢;然而在水平對流場中,水平集方法不保持水平集的體積和形狀的守恆.

歷史

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美國數學家Stanley Osher和James Sethian於20世紀80年代開發出了水平集方法.這一方法在許多學科廣泛使用,例如圖像處理計算幾何最優化計算流體力學.

大量的有關水平集數據結構被開發出來,使得水平集方法在計算中的應用變得更加方便.

參閱

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參考文獻

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  1. ^ Osher, S.; Sethian, Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations, J. Comput. Phys. 79, 1988, 79: 12–49. 
  2. ^ Osher, Stanley J.; Fedkiw, Ronald P. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer-Verlag. 2002. ISBN 0-387-95482-1. 
  3. ^ Sethian, James A. Level Set Methods and Fast Marching Methods : Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science. Cambridge University Press. 1999. ISBN 0-521-64557-3.