M 上一個泊松結構 （Poisson structure ）是一個雙線性映射
{
,
}
:
C
∞
(
M
)
×
C
∞
(
M
)
→
C
∞
(
M
)
,
{\displaystyle \{,\}:C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M),\,}
使得這個括號反對稱 ：
{
f
,
g
}
=
−
{
g
,
f
}
,
{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\},\,}
服從雅可比恆等式 ：
{
f
,
{
g
,
h
}
}
+
{
g
,
{
h
,
f
}
}
+
{
h
,
{
f
,
g
}
}
=
0
,
{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0,\,}
是 C ∞ (M ) 關於第一個變量的導子 ：
{
f
g
,
h
}
=
f
{
g
,
h
}
+
g
{
f
,
h
}
{\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}
f
,
g
,
h
∈
C
∞
(
M
)
.
{\displaystyle f,g,h\in C^{\infty }(M).\,}
上一個性質有多種等價的表述。取定一個光滑函數 g ∈ C ∞ (M )，我們有映射
f
↦
{
g
,
f
}
{\displaystyle f\mapsto \{g,f\}}
C ∞ (M ) 上一個導子。這意味着存在 M 上哈密頓向量場 X g
X
g
(
f
)
=
{
f
,
g
}
{\displaystyle X_{g}(f)=\{f,g\}\,}
對所有 f ∈ C ∞ (M )。這說明這個括號只取決於 f 的微分。從而，任何泊松結構有一個相伴的從 M 的餘切叢 T∗ M 到切叢 TM 的映射
B
M
:
T
∗
M
→
T
M
,
{\displaystyle B_{M}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M,\,}
將 df 映為 X f
餘切叢與切叢之間的映射意味着 M 上存在一個雙向量 場 η ，泊松雙向量 （Poisson bivector ），一個反對稱 2 張量
η
∈
⋀
2
T
M
{\displaystyle \eta \in \bigwedge ^{2}TM}
{
f
,
g
}
=
⟨
d
f
⊗
d
g
,
η
⟩
,
{\displaystyle \{f,g\}=\langle \mathrm {d} f\otimes \mathrm {d} g,\eta \rangle ,\,}
這裡
⟨
,
⟩
{\displaystyle \langle ,\rangle }
M 上一個雙向量場 η ，這個公式可用來定義一個關於第一個變量為導子的反對稱括號。這個括號服從雅可比恆等式，從而定義了一個泊松結構當且僅當斯豪滕–尼延黑斯括號 [η ,η ] 等於 0。
在局部坐標中，雙向量在一點 x = (x 1 , ..., x m
η
x
=
∑
i
,
j
=
1
m
η
i
j
(
x
)
∂
∂
x
i
⊗
∂
∂
x
j
{\displaystyle \eta _{x}=\sum _{i,j=1}^{m}\eta _{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\otimes {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,}
從而
{
f
,
g
}
(
x
)
=
∑
i
,
j
=
1
m
η
i
j
(
x
)
∂
f
∂
x
i
⊗
∂
g
∂
x
j
.
{\displaystyle \{f,g\}(x)=\sum _{i,j=1}^{m}\eta _{ij}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\otimes {\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}.\,}
對一個辛流形，η 不過是由辛形式 ω 誘導的餘切叢與切叢之間的配對，存在性是其非退化 保證。辛流形與泊松流形的差別在於辛形式必須無處奇異，而泊松雙向量不必處處都滿秩。當泊松雙向量處處為零時，稱流形有平凡泊松結構 。
泊松映射 （Poisson map ）定義為光滑映射
ϕ
:
M
→
N
{\displaystyle \phi :M\to N}
M 映到泊松流形 N ，保持括號積：
{
f
1
,
f
2
}
N
∘
ϕ
=
{
f
1
∘
ϕ
,
f
2
∘
ϕ
}
M
{\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}_{N}\circ \phi =\{f_{1}\circ \phi ,f_{2}\circ \phi \}_{M}\,}
這裡 { , }M N M 與 N 上的泊松括號。
給定兩個泊松流形 M 與 N ，可以在乘積流形上定義一個泊松括號 。設 f 1 與 f 2 是定義在乘積流形 M × N 上兩個光滑函數，利用在因子流形上的括號 { , }M N M ×N
{
f
1
,
f
2
}
M
×
N
(
x
,
y
)
=
{
f
1
(
x
,
⋅
)
,
f
2
(
x
,
⋅
)
}
N
(
y
)
+
{
f
1
(
⋅
,
y
)
,
f
2
(
⋅
,
y
)
}
M
(
x
)
{\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}_{M\times N}(x,y)=\{f_{1}(x,\cdot ),f_{2}(x,\cdot )\}_{N}(y)+\{f_{1}(\cdot ,y),f_{2}(\cdot ,y)\}_{M}(x)\,}
這裡 x ∈ M 與 y ∈ N 都是常數；這就有，當
f
(
⋅
,
⋅
)
:
M
×
N
→
R
,
{\displaystyle f(\cdot ,\cdot ):M\times N\to \mathbb {R} ,\,}
則蘊含着
f
(
x
,
⋅
)
:
N
→
R
{\displaystyle f(x,\cdot ):N\to \mathbb {R} \,}
與
f
(
⋅
,
y
)
:
M
→
R
.
{\displaystyle f(\cdot ,y):M\to \mathbb {R} .\,}
一個泊松流形可以分成一族辛葉子 （symplectic leaves ）。每一片葉子是泊松流形的一個子流形，每片葉子自身是一個辛流形。兩個點在同一片葉子上如果他們由一個哈密頓向量場的積分曲線 連接。即，哈密頓向量場的積分曲線在這個流形上定義了一個等價關係 。這個等價關係的等價類就是辛葉子。
如果
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
李代數 ，
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
f 1 與 f 2 是
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
x
∈
g
∗
{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}^{*}}
{
f
1
,
f
2
}
(
x
)
=
⟨
[
(
d
f
1
)
x
,
(
d
f
2
)
x
]
,
x
⟩
{\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}(x)=\langle \;\left[(df_{1})_{x},(df_{2})_{x}\right]\,,x\rangle }
這裡
d
f
∈
(
g
∗
)
∗
≃
g
{\displaystyle \mathrm {d} f\in ({\mathfrak {g}}^{*})^{*}\simeq {\mathfrak {g}}}
e k
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
η
i
j
(
x
)
=
∑
k
c
i
j
k
⟨
x
,
e
k
⟩
{\displaystyle \eta _{ij}(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}\langle x,e_{k}\rangle \,}
給出，這裡
c
i
j
k
{\displaystyle c_{ij}^{k}}
結構常數 （structure constant ）。
一個復泊松流形 （complex Poisson manifold ）是一個具有復結構或殆復結構 J 的泊松流形使得復結構保持雙向量：
(
J
⊗
J
)
(
η
)
=
η
.
{\displaystyle \left(J\otimes J\right)(\eta )=\eta .\,}
復泊松流形的辛葉子是偽凱勒流形 （pseudo-Kähler manifold ）。
A. Lichnerowicz, "Les variétès de Poisson et leurs algèbres de Lie associées", J. Diff. Geom. 12 (1977), 253-300.
A. A. Kirillov, "Local Lie algebras", Russ. Math. Surv. 31 (1976), 55-75.
V. Guillemin, S. Sternberg, Symplectic Techniques in Physics , Cambridge Univ. Press 1984.
P. Liberman, C.-M. Marle, Symplectic geometry and analytical mechanics , Reidel 1987.
K. H. Bhaskara, K. Viswanath, Poisson algebras and Poisson manifolds , Longman 1988, ISBN 0-582-01989-3 .
I. Vaisman, Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds , Birkhäuser, 1994. See also the review （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ） by Ping Xu in the Bulletin of the AMS. 
![{\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}(x)=\langle \;\left[(df_{1})_{x},(df_{2})_{x}\right]\,,x\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b407ae442518a6a6220e55887918d794997ad6de)
