法圖引理

在測度論中，法圖引理說明了一個函數列的下極限的積分（在勒貝格意義上）和其積分的下極限的不等關係。法圖引理的名稱來源於法國數學家皮埃爾·法圖（Pierre Fatou），被用來證明測度論中的法圖-勒貝格定理和勒貝格控制收斂定理。

敘述

設$(S,\Sigma ,\mu )$為一個測度空間， $(f_{n})_{n\geq 0}$是一個實值的可測正值函數列。那麼：

$\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

其中的函數極限是在逐點收斂的意義上的極限，函數的取值和積分可以是無窮大。

證明

定理的證明基於單調收斂定理（非常容易證明）。設$f$為函數列$(f_{n})_{n\geq 0}$ 的下極限。對每個正整數$k$，逐點定義下極限函數：

$g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}.$

於是函數列$g_{1},g_{2},\ldots$單調遞增並趨於$f$ 。

任意$k\leq n$，我們有$g_{k}\leq f_{n}$，因此

$\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu ,$

於是

$\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu .$

據此，由單調收斂定理以及下極限的定義，就有：

$\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

反向法圖引理

令$(f_{n})$為測度空間$(S,\Sigma ,\mu )$中的一列可測函數，函數的值域為擴展實數（包括無窮大）。如果存在一個在 $S$上可積的正值函數$g$，使得對所有的$n$都有$f_{n}\leq g$，那麼

$\int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .$

這裡$g$只需弱可積，即$\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty$。

證明：對函數列$(g-f_{n})$應用法圖引理即可。

推廣

推廣到任意實值函數

法圖引理不僅對取正值的函數列成立，在一定限制條件下，可以擴展到任意的實值函數。令$(f_{n})_{n\geq 0}$為測度空間$(S,\Sigma ,\mu )$中的一列可測函數，函數的值域為擴展實數（包括無窮大）。如果存在一個在$S$上可積的正值函數$g$，使得對所有的$n$都有$f_{n}\geq g$，那麼

證明：對函數列$\scriptstyle (f_{n}-g)$應用法圖引理即可。

逐點收斂

在以上的條件下，如果函數列在$S$上μ-幾乎處處逐點收斂到一個函數$\scriptstyle f$，那麼

$\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

證明：$\scriptstyle f$是函數列的極限，因此自然是下極限。此外，零測集上的差異對於積分值沒有影響。

依測度收斂

如果函數列在$S$上依測度收斂到$f$，那麼上面的命題仍然成立。

證明：存在$\scriptstyle (f_{n})$的一個子列使得

$\lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

這個子列仍然依測度收斂到$\scriptstyle f$，於是又存在這個子列的一個子列在$S$上μ-幾乎處處逐點收斂到$f$，於是命題成立。

外部連結

• 法图引理. PlanetMath. 

參考來源

• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.