滲流理論(英語:Percolation theory)是數學和統計物理領域中研究隨機圖上簇的性質的一套理論。舉例來說,假設有一多孔材料,求問液體能否從頂端貫穿該材料直至到達底部。滲流理論將此抽象成以下數學問題:建立一有n × n × n頂點的三維網格模型,相鄰頂點p的概率是連接的,或者說有(1-p)的概率是不連接的,每條邊連接與否相互獨立。滲流理論的基本問題是,當n很大以至於體系可以近似為無限網格時,求問至少存在一條貫穿整個網格的路徑(稱為滲流)對應的p的範圍。這一p的下界,pc,稱為滲流閾值英語Percolation_threshold。該問題由布羅德本特和漢默斯利於1957年提出,[1]其後相關問題被廣泛研究。

上述問題稱為邊滲流鍵滲流(英語:Bond percolation),是滲流理論兩種主要的滲流形式之一。另外一種是點滲流(英語:Site percolation),與邊滲流不同的是,每個頂點p的概率是「占有」的;相應有(1-p)的概率是「空缺」的,如果相鄰兩個頂點皆屬於占有則它們之間是連接的。而問題相同:求給定p值時,整個圖是否滲流。

滲流閾值

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根據零一律,一個無限的隨機圖是否滲流的概率要麼為0,要麼為1,處於這一轉折的臨界概率稱為滲流閾值,記作pc。少數簡單模型的滲流閾值有精確的解析解。例如,一維點陣的邊滲流和點滲流閾值均為pc=1,這個解是平凡的;[2]二維方格的滲流閾值曾困擾物理學界20年,直到1980年代由哈里·凱斯滕英語Harry_Kesten給出完整證明,其邊滲流閾值是1/2(參見Kesten (1982))。[3]另一種已知精確解的特殊情況是貝特晶格英語Bethe_lattice(該模型的每一個頂點z個近鄰頂點,如此延伸,沒有迴路), 

以下給出d維簡單立方模型的滲流閾值數據:

d 配位數z 點滲流 邊滲流
2 4 0.59274601(2)[4] 1/2
3 6 0.3116077(4)[5] 0.2488126(5)[6]
4 8 0.1968861(14),[7]0.19688561(3)[8] 0.1601314(13),[7] 0.16013122(6)[8]
5 10 0.1407966(15),[7] 0.14079633(4)[8] 0.118172(1),[7] 0.11817145(3)[8]
6 12 0.109017(2),[7] 0.109016661(8)[8] 0.0942019(6),[7] 0.09420165(2)[8]
7 14 0.0889511(9), [7] 0.088951121(1),[8] 0.0786752(3),[7] 0.078675230(2)[8]
8 16 0.0752101(5),[7] 0.075210128(1)[8] 0.06770839(7),[7] 0.0677084181(3)[8]
9 18 0.0652095(3),[7] 0.0652095348(6)[8] 0.05949601(5),[7] 0.0594960034(1)[8]
10 20 0.0575930(1),[7] 0.0575929488(4)[8] 0.05309258(4),[7] 0.0530925842(2)[8]
11 22 0.05158971(8),[7] 0.0515896843(2)[8] 0.04794969(1),[7] 0.04794968373(8)[8]
12 24 0.04673099(6),[7] 0.0467309755(1)[8] 0.04372386(1),[7] 0.04372385825(10)[8]
13 26 0.04271508(8),[7] 0.04271507960(10)[8] 0.04018762(1),[7] 0.04018761703(6)[8]

實際計算中,當網格邊長n較大時,比如n=100,一個體系是否滲流的概率在pc附近的變化已經非常尖銳。

滲流臨界指數

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模型在滲流閾值附近的行為可視作一種相變,因為有些表徵性質的物理量是發散的,比如簇的期望大小。標度理論認為模型在滲流閾值的性質可以用一系列臨界指數描述。例如,相互連接的點(點滲流)或邊(邊滲流)構成一個簇。當 時,簇大小的分布趨於 ,其中 為簇的大小, 為該大小的簇出現的概率, 費舍爾指數Fischer exponent)。

又如,兩個距離為 的點屬於同一個簇的概率呈 指數衰減,其中 反常維度Anomalous dimension)。

在滲流閾值時,無限的簇可視作一分形。以該無限的簇上的一點為中心,長度為 半徑範圍內屬於該簇點的個數(簇的質量)滿足  稱為分形維度Fractal dimension)。以上三個指數滿足

 
 

滲流臨界指數及關係也是滲流理論研究的重要內容。

相關

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參考資料

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  1. ^ Broadbent, S. R.; Hammersley, J. M. Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1953, 53 (03): 629. Bibcode:1957PCPS...53..629B. ISSN 0305-0041. doi:10.1017/S0305004100032680. 
  2. ^ Dietrich Stauffer; Ammon Aharony. Introduction to percolation theory revised second edition. CRC press. 2014. ISBN 0748400273. 
  3. ^ Bollobás, Béla; Riordan, Oliver. Sharp thresholds and percolation in the plane. Random Structures and Algorithms. 2006, 29 (4): 524–548. ISSN 1042-9832. arXiv:math/0412510 . doi:10.1002/rsa.20134. 
  4. ^ Jacobsen, J. L. High-precision percolation thresholds and Potts-model critical manifolds from graph polynomials. J. Phys. A: Math. Theor. 2014, 47 (13): 135001. Bibcode:2014JPhA...47m5001G. arXiv:1401.7847 . doi:10.1088/1751-8113/47/13/135001. 
  5. ^ Deng, Youjin; H. W. J. Blöte. Monte Carlo study of the site-percolation model in two and three dimensions. Physical Review E. 2005, 72 (1): 016126. Bibcode:2005PhRvE..72a6126D. doi:10.1103/PhysRevE.72.016126. 
  6. ^ Lorenz, C. D.; R. M. Ziff. Precise determination of the bond percolation thresholds and finite-size scaling corrections for the sc, fcc, and bcc lattices. Physical Review E. 1998, 57: 230–236. Bibcode:1998PhRvE..57..230L. arXiv:cond-mat/9710044 . doi:10.1103/PhysRevE.57.230. 
  7. ^ 7.00 7.01 7.02 7.03 7.04 7.05 7.06 7.07 7.08 7.09 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 Grassberger, Peter. Critical percolation in high dimensions. Physical Review E. 2003, 67 (3): 4. Bibcode:2003PhRvE..67c6101G. arXiv:cond-mat/0202144 . doi:10.1103/PhysRevE.67.036101. 
  8. ^ 8.00 8.01 8.02 8.03 8.04 8.05 8.06 8.07 8.08 8.09 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 Mertens, Stephan; Christopher Moore. Percolation Thresholds and Fisher Exponents in Hypercubic Lattices. 2018. arXiv:1806.08067  [cond-mat.stat-mech].