皮索特-維賈亞拉加文數

皮索特-維賈亞拉加文數Pisot–Vijayaraghavan number,簡稱皮索數PV數)是指一大於1的實數代數整數,且其共軛代數數的絕對值小於1。皮索數是在1912年由數學家阿克塞爾·圖厄發現,後來1919年戈弗雷·哈羅德·哈代在研究丟番圖逼近時再度發現皮索數,但一直到1938年查理·皮索特英語Charles Pisot的論文發表後,皮索數才廣為人所知道。數學家維賈亞拉加文英語Tirukkannapuram Vijayaraghavan拉斐爾·塞勒姆英語Raphael Salem在1940年代有相關的研究,塞勒姆數英語Salem number的概念就類似皮索數。

皮索數一個廣為人知的特性就是其高次方以指數方式趨近整數。皮索特證明了以下的定理:若α > 1為一實數使以下數列

平方可求和(square-summable)或2(其中||x||表示一實數x和最接近整數之間的距離),則α為皮索數(也是一代數整數)。依照皮索數的這一個特性,塞勒姆證明所有皮索數形成的集合S為一閉集合。其最小元素為一個包括三次方根的無理數,稱為塑膠數。對於皮索數集合S極限點有較多的了解,其中最小的元素就是黃金比例

定義及性質

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一個代數度n的代數整數是指一個n不可約英語irreducible polynomial整係數首一多項式P(x)的根αP(x)即為α最小多項式,其他的根則為α的共軛數。若 α > 1,且P(x)的其他根皆為絕對值小於1的實數或複數,都在複數平面中|x| = 1的單位圓盤中,則α就稱為皮索特-維賈亞拉加文數、皮索數或PV數。例如黃金比例φ ≈ 1.618為一個大於一的實代數整數,其共軛數−φ−1 ≈ −0.618小於1,因此φ為一皮索數,其最小多項式為x2x − 1。

參考資料

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外部連結

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