離散偶極近似

離散偶極近似（Discrete Dipole Approximation DDA）是一種用來求解物體散射電磁波的計算方法。它使用大量偶極子組成的陣列來模仿連續的物體，通過求解這些偶極子在入射電磁波照射下的極化度來獲得物體吸收、散射電磁波的性質。

基本概念

在電動力學的框架內，求解物體對電磁波的吸收、散射情況，實質上是計算物體內部和周圍空間的電磁場分布。理論上，有介質存在情況下的電磁場分布可以通過求解麥克斯韋方程組獲得。然而，由於麥克斯韋方程組的複雜性，它只能在具有獨特對稱性的體系中求得解析解。那麼，對於一般形狀的物體，通常採用數值方法近似求解其周圍電磁場分布。離散偶極近似就是這樣一種方法，它假設物體的電磁波散射特性是由其電子對於入射電磁波的反饋作用形成——電子在電磁波的作用下發生受迫振動，而與其正電荷中心分離形成振盪電偶極，它們在振動時能夠輻射電磁波並作用於其它電偶極。進一步，設想物體是由大量的電偶極組成，則由電動力學理論可以建立起描述所有偶極子相互影響的線性方程組，求解該方程組獲得偶極電磁場。最後，把所有偶極的電場作用疊加後就獲得了整個物體內部以及周圍空間的電磁場。

發展歷程

1964年，Howard DeVoe在其論文中建立了DDA方法的基本框架。DeVoe發展出一種經典物理模型，該模型可以由單體（比如分子）的光學性質出發求解出聚集體（比如分子晶體）的光學性質。DeVoe認為，如果求出聚集體的總偶極矩，就可以導出其折射率和消光係數等性質。為此，需要將所有的分子偶極矩疊加從而獲得總偶極矩。然而，分子偶極矩是由入射電磁波誘導產生，同時這些分子偶極還會產生電場，進一步影響其它分子偶極。那麼，分子偶極矩中就包含了入射電場和其它偶極電場兩部分，由此可以建立起包含所有偶極矩的線性方程組加以求解。DeVoe奠定了由偶極間相互作用求解物體光學性質的方法。但是，該論文中描述偶極間電場作用時使用的是電偶極的靜電場表達式，而非振盪偶極子的電場。

1973年，Purcell在其論文中確立了DDA方法的基本原理並計算了任意形狀顆粒的光散射特性。 他是在關於星際塵埃散射星光的研究中發展出這一方法的，因而並未引用DeVoe的研究成果。然而，相比較DeVoe旨在建立一種經典物理的模型來描述單體與聚集體光學性質之間的關係，Purcell則明確了DDA方法的一些基本概念，以及它用於計算顆粒光散射的用途。他首先提出使用3維的偶極子陣列模擬顆粒的散射行為，並且採用振盪偶極子的電磁波公式描述偶極子電場的影響，相比與DeVoe更為準確。其次，Purcell通過Clausius-Mossotti關係式確定了偶極陣列中偶極子極化率(polarizability) $\alpha$ 與顆粒材料的介電常數 $\epsilon$ 的關係（DeVoe使用分子消光係數導出分子偶極極化率）。由此求出極化率就解決了DDA方法中的基本問題：偶極矩與局部電場之間的數值關係。這樣就能夠構建描述偶極矩之間關係的線性方程組 ${\boldsymbol {P}}_{i}=\alpha {\boldsymbol {E}}_{i}$ 。最後，他設計了一個遞推關係求解該方程組，並且根據電動力學原理求出顆粒的吸收係數和消光係數。

下面主要以Draine編寫的軟件DDSCAT為例，結合他的研究工作，介紹DDA方法的發展過程。

1988年，Draine在其論文中對DDA方法做出了幾項重要改進（使用Fortran語言編寫了計算程序，成為後來的DDSCAT）。首先，Draine認為Clausius-Mossotti關係式描述的是靜電場環境下極化度與介電常數的關係，並不完全適用於電磁波條件。因此，他引入radiation reaction對其進行了修正。其次，通過分析計算結果關於偶極子陣列粒度的變化情況，他提出了DDA方法的誤差表達式，確定了偶極子數量N的取值標準。最後，Draine採用複數共軛梯度算法迭代求解偶極矩方程組，獲得更好的收斂性。

1991年，Goodman等人在論文中指出，當偶極子陣列具有空間周期性時，複數共軛梯度算法中的矩陣乘法實質上是卷積運算，因此可以使用快速傅立葉變換(Fast-Fourier Transform FFT)技術對其加速，節省運算時間。作者在其DDSCAT軟件中加入了這一功能並對其時間複雜性進行了研究。

1993年，Draine與Goodman指出使用Lattice Dispersion Relation (LDR)關係描述偶極子極化度能夠使DDA方法的解與mie散射的結果更為接近，因而取代了Clausius-Mossotti plus radiative reaction (CMRR)。

2008年，Draine與Flatau對DDA方法進行了改進，使其可以計算二維周期性結構或者一維無限長物體的散射，擴展了DDA方法的應用範圍。

此外，Yurkin和Maltsev在其文章中分析了DDA方法的誤差與偶極間距d的關係。作者從電磁場散射理論出發，推導出偶極離散化誤差的表達式，同時分析了正方體偶極陣列和實際散射體形狀差別造成的誤差。

2007年，Penttila等人發表文章，從計算速度、內存消耗等方面比較了SIRRI、DDSCAT、ADDA、ZDD這4種DDA軟件各自的優劣。

2007年，Yurkin和Hoekstra發表綜述，對DDA方法進行了較為全面的總結，涵蓋了基本原理，計算方法，求解技術的諸多方面的研究成果和發展。

理論推導

實質上，DDA方法是電磁散射公式積分形式的離散化表達。