維格納定理

維格納定理（Wigner's theorem）是由尤金·維格納在1931年證明的，這個定理是量子力學的數學表述的奠基石。這個定理描述的是系統的對稱性，即例如旋轉，平移或者CPT這些操作是如何改變希爾伯特空間上的態。

根據這個定理，任何對稱性操作都是希爾伯特空間上的一個幺正變換或者反幺正變換。更準確的說，這個定理描述的是在一個復希爾伯特空間$H$ 上，如果對任意的 $x,y\in H$,都存在一個滿射 $T:H\rightarrow H$ 滿足

$|\langle Tx,Ty\rangle |=|\langle x,y\rangle |$

則對任意的$x\in H$該滿射可以被改寫成如下形式

$Tx=\varphi (x)Ux$

其中$\varphi :H\rightarrow \mathbb {C}$ 的模為1，而且$U:H\rightarrow H$是一個幺正或者反幺正的映射。

量子力學中的對稱性

在量子力學和量子場論里，我們用一個矢量（右矢）來表徵一個或多個粒子或場的量子態。任何對稱操作，比如「將所有粒子和場在時間的方向上都向前移動5秒」，或者是「將粒子和場通過洛倫茲變換變換到在x軸方向以5m/s相對運動的參照系中」，這些都相當於希爾伯特空間上的一個操作T。這個操作T一定要是雙射的，因為任何一個量子態都必須有個唯一的的對應的變換後的態，反之亦然。還有，當一個系統初始狀態為$y$變換到狀態$x$的概率為$|\langle x,y\rangle |^{2}$。既然T是一個對稱操作，那麼一個系統初始狀態為$Ty$變換到$Tx$的概率和前面是一樣的；因此，$|\langle Tx,Ty\rangle |^{2}=|\langle x,y\rangle |^{2}$。於是，操作T就滿足了魏格納定理的假設。

根據魏格納定理，T要麼是幺正變換，要麼是反幺正變換。在上面的兩個例子裡（時間平移和洛倫茲變換），T是幺正變換。而時間反演變換是一個典型的反幺正變換。

參見

• 粒子物理學與表示論

參考資料

補充來源

• Bargmann, V. "Note on Wigner's Theorem on Symmetry Operations". Journal of Mathematical Physics Vol 5, no. 7, Jul 1964.
• Molnar, Lajos. "An Algebraic Approach to Wigner's Unitary-Antiunitary Theorem".
• Simon, R., Mukunda, N., Chaturvedi, S., Srinivasan, V., 2008. Two elementary proofs of the Wigner theorem on symmetry in quantum mechanics. Phys. Lett. A 372, 6847–6852.
• Mouchet, Amaury. "An alternative proof of Wigner theorem on quantum transformations based on elementary complex analysis". Physics Letters A 377 (2013) 2709-2711. hal.archives-ouvertes.fr:hal-00807644 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）