聯絡 (主叢)

在數學中，叢上一個聯絡是定義了一種平行移動概念的裝置；即將鄰近點上的纖維「連接」或等價的一種方法。光滑流形M上主G-叢P上一個主G-聯絡是一類特殊的聯絡，它與群G的作用相容。

主聯絡可以視為是埃雷斯曼聯絡概念的一類特例，經常稱為主埃雷斯曼聯絡。它給出了通過配叢構造相配於P的任何纖維叢上一個（埃雷斯曼）聯絡。特別地，在任何配向量叢上主聯絡誘導了一個共變導數，一個能對這個叢的光滑截面關於沿着底流形上切方向微分的算子。主聯絡將光滑流形標架叢上的線性聯絡推廣到任何主叢上。

正式定義

設π:P→M是光滑流形M上一個光滑主G-叢。則P上一個主G-聯絡是P上一個取值於G的李代數 ${\mathfrak {g}}$ 的微分1-形式，並滿足G-等變以及產生P上的基本向量場的李代數生成集。

換句話說，它是 $\Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P)\otimes {\mathfrak {g}}$ 中一個元素ω使得

${\hbox{Ad}}(g)(R_{g}^{*}\omega )=\omega$ 這裡R_g表示用g右乘；
如果 $\xi \in {\mathfrak {g}}$ 和X_ξ是P上的向量場關聯於 ξ利用G在P作用的微分，則ω(X_ξ) = ξ（在 P上等同）。

有時術語「主G-聯絡」表示二元組(P,ω)，而ω自己稱為這個主聯絡的聯絡形式或聯絡1-形式。

與埃雷斯曼聯絡的關係

P上一個主G-聯絡以如下方式確定了P上一個埃雷斯曼聯絡。首先注意到基本向量場生成了G在P上的作用給出了從P的鉛直叢V（滿足V_p=T_p(P_π(p))到 $P\times {\mathfrak {g}}$ 的一個叢同構。從而ω定義了惟一的叢映射v:TP→V，在V上是恆同。這個投影v由它的核惟一確定，它是TP的一個光滑子叢H（稱為水平叢）使得TP=V⊕H。這是一個埃雷斯曼聯絡。

反之，P上一個埃雷斯曼聯絡H⊂TP（或v:TP→V）定義了一個主G-聯絡ω當且僅當它在 $H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})$ 的意義下G-等變。

局部平凡化中的形式

主叢P的一個局部平凡化由P在一個M的開子集U上的一個截面s給出。則主聯絡的拉回s^*ω是一個U上一個取值於 ${\mathfrak {g}}$ 的1-形式。如果截面s被由(sg，x) = s(x)g(x)定義的一個新截面sg代替，這裡g:M→G是一個光滑映射，則(sg)^*ω = s^*ω+g^-1dg。主聯絡惟一地由這樣一族 ${\mathfrak {g}}$ -值1-形式確定，這些1-形式也稱為聯絡形式或聯絡1-形式，特別是在比較舊或以物理為中心的文獻中。

主聯絡叢

群G通過右平移作用在切叢TP。商空間TP/G也是一個流形，繼承了TM上一個纖維叢結構，可記作dπ:TP/G→TM。設ρ:TP/G→M是到M的投影映射。叢TP/G的纖維在投影ρ下攜帶一個加法結構。

叢TP/G稱為主聯絡叢(Kobayashi 1957)。dπ:TP/G→TM A的一個截面Γ使得Γ : TM → TP/G是M上向量叢的一個線性同態，可與P中一個主聯絡等同。反之，如上定義的一個主聯絡給出了這樣TP/G的一個截面Γ。

最後，設Γ是這樣意義的一個主聯絡。令q:TP→TP/G是其商映射。聯絡的水平分布是叢

H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP

。

仿射性質

如果ω與ω' 是主叢P上兩個主聯絡，則差ω' - ω是P上一個 ${\mathfrak {g}}$ -值1-形式，它不僅G-等變，也是水平的。這裡所謂水平是指在P的任何鉛直叢V上為零。從而它是基本的，因此能被M上取值於伴隨叢

{\mathfrak {g}}_{P}:=P\times _{G}{\mathfrak {g}}

一個1－形式確定。反之，任何這樣的形式定義了（通過拉回）P上一個G-等變水平1-形式。所以主G-聯絡的空間是關於這個1-形式空間的一個仿射空間。

誘導的共變外導數

對G的任何線性表示W，有一個M上的配向量叢 $P\times _{G}W$ ，一個主聯絡誘導了這個向量叢上一個共變導數。這個共變導數可利用 $P\times _{G}W$ 在M上截面的空間同構於P上G-等變W-值函數的事實來定義。更一般地，取值於 $P\times _{G}W$ 的k-形式之空間等同於P上G-等變且水平的W-值k-形式之空間。如果α是這樣一個k-形式，則其外導數dα，儘管G-等變，但不再水平。不過，複合dα+ωΛα卻是。這樣定義了一個外共變導數d^ω從M上 $P\times _{G}W$ -值k-形式到M上 $P\times _{G}W$ -值(k+1)-形式。特別地，當k=0，我們得到了 $P\times _{G}W$ 上一個共變導數。

曲率形式

主G-聯絡ω的曲率形式是 ${\mathfrak {g}}$ -值2-形式Ω定義為

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]

。

它是G-等變以及水平的，從而對應於一個M上取值為 ${\mathfrak {g}}_{M}$ 的2-形式。曲率與這個量相等也稱為「第二結構方程」。

標架叢上的聯絡及其撓率

如果主叢P是標架叢，或更一般地如果他有一個焊接形式（英語：solder form）（solder form），則此聯絡是仿射聯絡的一個例子，曲率不僅不變，由焊接形式θ的加法結構，也要考慮到它是P上一個Rⁿ-值1-形式。特別地，P上的撓率形式，是一個 Rⁿ-值2-形式Θ定義為

\Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta

。

Θ是G-等變及水平的，從而它下降為M上一個切值2-形式，稱為撓率。這個等式也稱為「第一結構方程」。

參考文獻

Kobayashi, Shoshichi, Theory of Connections, Ann. Mat. Pura Appl., 1957, 43: 119–194
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry Vol. 1 New edition, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0471157333
Kollár, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993 [2008-12-13], （原始內容 (PDF)存檔於2017-03-30）