良序定理
在數學中,良序定理(英語:Well-ordering theorem),或稱 Zermelo 定理,表示「所有集合都可以被良排序」。一集合 被一個嚴格全序所良排序,如若對任意 之非空子集,在該序關係下均蘊含一個最大元。所有與選擇公理等價之命題,良序定理同 Zorn 引理 乃最重要的兩個陳述。該定理相當重要,超限歸納法藉由該定理方可作用於任意集合。
歷史
編輯Cantor 認為良序定理是「思維的基本原理」。但是多數數學家發現,找到如實數集合 這樣的良序集合並非那麽容易。在1904年,Gyula Kőnig 聲稱已經證明了這種良序不能存在。幾周之後,Felix Hausdorff 在他的證明中發現了一個錯誤。在此之後,Ernst Zermelo 引入了 「無可非議」 的選擇公理,以證明良序定理[1]。事實上在一階邏輯下,良序定理等價於選擇公理,其中一個和 Zermelo-Frankel 集合論一起即可證明另一個;在二階邏輯下良序定理略強於選擇公理。
良序定理可給出似乎是悖論的推論,比如 Banach-Tarski 悖論。
關於選擇公理、Zorn 引理、良序定理,下面這句玩笑話在某種程度上説明了其直覺上之聯係:
「選擇公理顯然爲真,而良序原理顯然為假,那誰來說説 Zorn 引理?」[2]
從選擇公理證明良序定理
編輯證明如下。[3]
設有欲良排序之任意集合 ,令 為 非空子集族的選擇函數。對任意序數 ,定義 中的元 為 當 非空,否則使 未定義。此時, 選擇自 之元素所構成的集合,而尚未被排序(或者因爲 已然完全枚舉而未被定義)。接下來,定義 上的序關係 以 當且僅當 (在序數間通常的良序下),此即所需之 上的良序,序類型 。
從良序定理證明選擇公理
編輯證明如下。
為構建非空集之集族 上之選擇函數,對該集族取並為 。 存在良序;設該序關係為 。對每個 中的元 ,規定選擇函數映之於 中在序關係 下的最大元。這樣就得到了所需的選擇函數。
證明中,一個必不可少的點在於,證明僅涉及唯一一個任意選擇,即 ;分別於 的每個元 應用良序定理並不一定可行,因爲良序定理僅聲明了良序之存在性,而為每個 賦予良序將要求簡單地對每個 選擇出一個元那麽多的選擇。特別地,如果 擁有不可數那麽多的集合,不藉由選擇公理,進行不可數次的選擇在 ZF 集合論下不被允許。
參見
編輯- ^ Thierry; Vialar. Handbook of Mathematics. Norderstedt: Springer. : 23 [2024-11-03]. ISBN 978-2-95-519901-5. (原始內容存檔於2023-05-16).
- ^ Krantz, Steven G., The Axiom of Choice, Krantz, Steven G. (編), Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science, Birkhäuser Boston: 121–126, 2002, ISBN 9781461201151, doi:10.1007/978-1-4612-0115-1_9 (英語)
- ^ Jech, Thomas. Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. 2002: 48. ISBN 978-3-540-44085-7.