調和映射
數學上,在黎曼流形M和N之間的一個(光滑)映射,稱為調和映射,如果這個映射是狄利克雷能量泛函
的一個臨界點。
試想像M是橡膠做的,N是大理石做的,形狀由其度量決定,而映射φ:M→N給出把橡膠「貼附」在大理石上的方式。E(φ)就表示因橡膠的張力產生的彈性位能。用這個比喻,φ稱為調和映射,如果把橡膠「鬆開」,但仍限制要處處與大理石接觸時,那麼橡膠已經在平衡的位置,所以不會「縮回」到另一個形狀。
從完備黎曼流形到非正截面曲率的完備黎曼流形存在調和映射,這個結果是Eells & Sampson (1964)證出。
數學定義
編輯給出黎曼流形(M,g), (N,h)和映射φ:M→N,定義φ在M中一點x上的能量密度為
其中 是φ的微分的範數平方,範數是對向量叢T*M⊗φ−1TN上的導出度量而取。能量是能量密度在M上的積分
其中dvg是M上由度量導出的測度。這是古典狄利克雷能量的推廣。
能量密度可以更明確地表作
當M是緊緻時,則φ稱為調和映射,若φ是能量泛函E的一個臨界點。這個定義可以延伸至M不是緊緻的情況:φ稱為調和映射,若φ限制到任一個緊緻區域上都是調和映射,換一個更通常的說法,就是若在索伯列夫空間H1,2(M,N)中φ是能量泛函一個臨界點。
調和映射的另一個等價定義,就是φ滿足與泛函E對應的歐拉-拉格朗日方程:
其中∇是向量叢T*M⊗φ−1上由M和N的列維-奇維塔聯絡導出的聯絡。式中τ(φ)是向量叢φ−1(TN)的截面,稱為φ的張力場。用上文的物理比喻來說,τ(φ)是「橡膠」流形M要使能量極小化時在N中擬欲移動的方向。
例子
編輯度量空間的調和映射
編輯對於兩個度量空間之間的映射u : M → N這個比黎曼流形弱的場合,能量積分也有相應的推廣。(Jost 1995)這時用以下形式的函數代替能量積分:
其中με
x是依附在M每一點上的測度族。
參考
編輯- Eells, J.; Sampson, J.H., Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math., 1964, 86: 109–160, JSTOR 2373037.
- Eells, J.; Lemaire, J., A report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc., 1978, 10: 1–68, doi:10.1112/blms/10.1.1.
- Eells, J.; Lemaire, J., Another report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc., 1988, 20: 385–524.
- Jost, Jürgen, Equilibrium maps between metric spaces, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 1994, 2 (2): 173–204, ISSN 0944-2669, MR 1385525, doi:10.1007/BF01191341.
- Jost, Jürgen, Riemannian Geometry and Geometric Analysis 4th, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-3-540-25907-7.