超度量空間
超度量空間是一種特殊的度量空間,其中三角不等式用d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}來代替。有時相關的度量也稱為非阿基米德度量或超度量。雖然超度量空間中的一些定理看來奇怪,它們在許多應用中都自然出現。超度量空間在數學上其中一個應用是關於p-進數的研究。
正式定義
編輯正式地,超度量空間是點M的集合與一個相關的距離函數(又稱為度量):
- d : M × M → R
(其中R是實數集合),使得對於所有M內的x,y和z,都有:
- d(x, y) ≥ 0
- d(x, y) = 0 當且僅當 x=y
- d(x, y) = d(y, x) (對稱性)
- d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)} (強三角不等式或超度量不等式)。
第四個條件可加強為當d(x, y)和d(y, z)不相等時,d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)},原因如下:
首先,可以不失一般性地假定d(x, y) < d(y, z),因此d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}可變為d(x, z) ≤ d(y, z),但另一方面,d(y, z) ≤ max{d(x, y), d(x, z)},由於已經假定d(x, y) < d(y, z)之故,因此顯然max{d(x, y), d(x, z)}不能為d(x, y),因此max{d(x, y), d(x, z)} = d(x, z),所以有d(y, z) ≤ d(x, z),由於d(x, z) ≤ d(y, z)和d(y, z) ≤ d(x, z)兩者皆成立之故,因此有d(x, z) = d(y, z)。因此d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}。
性質
編輯從以上的定義中,我們可以推出超度量空間的一些典型的性質。例如,在超度量空間內,對於所有M內的x,y和z以及R內的所有r和s,都有:
- 每一個三角形都是等腰的,也就是說,d(x,y) = d(y,z),或d(x,z) = d(y,z),或d(x,y) = d(z,x)。
- 球體內的每一點都是它的中心,也就是說,如果d(x,y) < r,則B(x; r) = B(y; r)。
- 相交的球體互相包含,也就是說,如果B(x; r) ∩ B(y; s)是非空的,則要麼B(x; r) ⊆ B(y; s),要麼B(y; s) ⊆ B(x; r)。
在這裡,(開)球體的概念和記法與度量空間中的球體一樣,也就是說:
- B(x; r) = { y ∈ M | d(x, y) < r }。
- 所有的球體在誘導拓撲中都既是開集又是閉集。也就是說,開球體也是閉球體,閉球體(把<換成≤)也是開球體。
參考文獻
編輯- Set Theory and Metric Spaces, I. Kaplansky, AMS Chelsea Publishing (1977). ISBN 0-8218-2694-8