邏輯矩陣

邏輯矩陣（或者布爾矩陣）是由布爾域B = {0, 1}組成的矩陣。這樣的矩陣可以用來表示一對有限集合之間的二元關係。

關係的矩陣表示

如果R是有限集合X和Y之間的一個二元關係（ R ⊆ X×Y），那麼R可以用矩陣M來表示，M的行索引和列索引由X和Y兩個集合分別給出。M的元素定義如下：

$M_{i,j}={\begin{cases}1&(i,j)\in R\\0&(i,j)\not \in R\end{cases}}$

注意，在以上定義中，假設了矩陣索引可以出自任意有限集合。如果要求索引是來自某集合 {1, 2, ..., n}的整數，必須用一個n維的有限集合與集合 {1, 2, ..., n}的雙射（一一對應）來把原來集合的元素表示成整數。

例子

自然數集合{1, 2, 3, 4}的二元關係整除由以下自然數對集合組成：

{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.

相應的布爾矩陣表示為：

${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

一些性質

表示有限集合上的相等關係矩陣是單位矩陣，即對角線的元素均為1，其他元素為0。

如果布爾域被看作是半環的，加法對應於邏輯或，乘法對應於邏輯與，兩個關係的合成的矩陣表示等於表示這些關係的矩陣的矩陣乘法。