阿基米德公理

抽象代數分析學中,以古希臘數學家阿基米德命名的公理,是一些賦范的代數結構具有的一個性質,可表述如下:

阿基米德公理的示意圖

對於任何正實數 ,即使 多麼小,或是 多麼大,也必定存在自然數 ,使得

這公理的粗略意義是,數字系統不存在具有無窮大無窮小性質的元素。

這個概念源於古希臘對的理論。由於它出現在阿基米德的《論球體和圓柱體》的公理五,1883年,奧地利數學家奧托·施托爾茨英語Otto Stolz賦予它這個名字[1]

在現代實分析中,這性質不是一個公理,而是退卻為實數具完備性的結果。基於這理由,常以性質的叫法取而代之。

此性質在現代數學中,仍然起着重要的作用,例如有關有序群有序域局部域的理論,以及大衛·希爾伯特的幾何公理系統。

形式敘述以及證明

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解釋

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簡單地說,阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句:

  1. 給出任何數,你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
  2. 給出任何正數,你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

這等價於說,對於任何實數  ,如果 ,則存在自然數 ,有

 

與實數的完備性的關係

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實數的完備性蘊含了阿基米德性質,證明利用了反證法

假設對所有  (注意 表示  相加),令 ,則  的上界( 上方有界,依實數完備性,必存在最小上界,令其為 ),於是 

 

得出 也是 的一個上界,這與 是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質,但阿基米德性質推不出實數的完備性,因為有理數滿足阿基米德性質,但並不是完備的。

參看

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Archimedes Axiom. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-05]. (原始內容存檔於2021-04-29) (英語).