阿貝爾定理冪級數的一個重要結果。

定理

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 為一冪級數,其收斂半徑R。若對收斂圓(模長為 R 的複數的集合)上的某個複數 級數 收斂,則有:  

 收斂,則結果顯然成立,無須引用這個定理。

證明

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設級數 收斂,下面證明:

 

 ,則冪級數  的收斂半徑為1,並且只需證明

 

 ,則可化歸到 ,於是以下只需要考慮  的情況。

 ,那麼 。由冪級數性質可知  的收斂半徑也是1。於是

 
 
 (因為 

對於任意的 ,固定  使得

  

再固定 使得

  

於是對 

 
 
 

這就證明了

 

於是阿貝爾定理得證。

從證明中可以看出,對於一個固定的正數 ,設區域:

 

那麼只要  趨近於1,就有阿貝爾定理成立。

例子和應用

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阿貝爾定理的一個有用應用是計算已知收斂級數。方法是通過在級數每項後加上 項,將問題轉換為冪級數求和,最後再計算 x 趨於 1 時冪級數的極限。由阿貝爾定理可知,這個極限就是原級數的和。

  1. 為計算收斂級數 ,設 。於是有 
  2. 為計算收斂級數 ,設 。因此有 

參考來源

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  • (法文)Srishti.D.Chatterji. Cours d'Analyse. Editions polytechniques et universitaires romandes. 1997. 
  • (法文)Alekseev. Theorème D'Abel: Un Cours D'Arnold. Cassini. 2007.