集合範疇
在範疇論這個數學領域中,集合範疇(標記為 Set)是一個對象為集合的範疇。集合 A 及 B 之間的態射族包含所有從 A 映射至 B 的函數。
集合範疇是許多其他範疇(如其態射為群同態的群範疇)的基礎,這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構,並限制其態射為特定函數而成。
證明集合範疇為範疇
編輯已知一數學物件具有對象及態射,若該數學物件存在一態射複合,滿足結合律,且具單位態射的話,則此數學物件為一範疇。
對任意三對象A、B 及 C,取任意兩函數f∈hom(A,B) 及g∈hom(B,C),可知其函數複合g o f 為由A 映射至C 的函數,故g o f∈hom(A,C)。 因此,此集合範疇之函數複合為態射複合。
函數複合滿足結合律,且具單位函數,因此集合範疇為一範疇。
性質
編輯由於羅素悖論,即所有集合的全體不能作為一個集合而存在,Set的對象類為一真類。故Set為大範疇。
Set的滿態射為滿射函數,單態射為單射函數,同構態射為雙射函數。
Set的始對象為空集,終對象為任意單元素集合。Set無零對象。
Set為完全和上完全範疇。Set的積為集合的笛卡兒積;上積為不相交並:給定一組集合 Ai(i ∈ I),其上積可構造為Ai×{i}的並集。這裡與{i}的笛卡兒積保證了各集合不相交。
Set是具體範疇的原型;任何具體範疇均在某些方面類似Set。
Set中任意一個二元素集合是一分類子。集合A的冪對象為其冪集。從A到B的指數對象為從A到B函數的集合。因此,Set為一拓撲斯 (且為笛卡兒閉)。