範疇論這個數學領域中,集合範疇(標記為 Set)是一個對象為集合範疇。集合 AB 之間的態射族包含所有從 A 映射至 B函數

集合範疇是許多其他範疇(如其態射為群同態群範疇)的基礎,這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構,並限制其態射為特定函數而成。

證明集合範疇為範疇

編輯

已知一數學物件具有對象及態射,若該數學物件存在一態射複合,滿足結合律,且具單位態射的話,則此數學物件為一範疇。

對任意三對象ABC,取任意兩函數f∈hom(A,B) 及g∈hom(B,C),可知其函數複合g o f 為由A 映射至C 的函數,故g o f∈hom(A,C)。 因此,此集合範疇之函數複合為態射複合。

函數複合滿足結合律,且具單位函數,因此集合範疇為一範疇。

性質

編輯

由於羅素悖論,即所有集合的全體不能作為一個集合而存在,Set的對象為一真類。故Set大範疇

Set滿態射滿射函數單態射單射函數同構態射雙射函數

Set始對象空集終對象為任意單元素集合Set零對象

Set完全和上完全範疇Set為集合的笛卡兒積上積不相交並:給定一組集合 AiiI),其上積可構造為Ai×{i}的並集。這裡與{i}的笛卡兒積保證了各集合不相交。

Set具體範疇的原型;任何具體範疇均在某些方面類似Set

Set中任意一個二元素集合是一分類子。集合A冪對象為其冪集。從AB的指數對象為從AB函數的集合。因此,Set為一拓撲斯 (且為笛卡兒閉)。

Set既非阿貝爾範疇,也非加法範疇預加性範疇Set零態射

任一Set的非始對象為單射對象,也為投射對象