香農小波

在泛函分析中，香農小波（英語：Shannon wavelet）（或Sinc小波）是由理想帶通濾波器進行信號分析定義的信號分解方法。香農小波可以是實小波，也可以是復小波。

香農小波在時域局域化特性不好（時域非緊支撐），但其傅里葉變換是帶限的（頻域是緊支撐）。因此香農小波的時間定位性能較差，但頻率定位性能良好。這些特徵恰好與哈爾小波相反，因為Haar和sinc系統是彼此的傅里葉對偶。

定義

香農小波的構建從Sinc函數開始。

尺度函數

首先由sinc函數定義香農小波的尺度函數：

$\phi ^{\text{(Sha)}}(t):={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).$

其伸縮和平移為：

$\phi _{k}^{n}(t):=2^{n/2}\phi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)$

其中，$n,k$ 為伸縮和平移的參數。

尺度函數的傅里葉變換為：

$\Phi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\Pi ({\frac {\omega }{2\pi }})={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }},&{\mbox{if }}{|\omega |\leq \pi },\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}$

其中（歸一化的）矩形函數定義為：

$\Pi (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}$

尺度函數在傅里葉域中的伸縮和平移定義為：$\Phi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n+1}\pi }})$

母小波

由尺度函數 $\Phi ^{\text{(Sha)}}$ 和多分辨率近似，我們可以得出香農母小波在傅里葉域的形式：

$\Psi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}e^{-i\omega }{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}$

其伸縮和平移形式為：

$\Psi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}$

對其進行逆傅里葉變換，可以得到香農母小波函數的伸縮和平移形式：

$\psi ^{\text{(Sha)}}(t)={\frac {\sin \pi (t-(1/2))-\sin 2\pi (t-(1/2))}{\pi (t-1/2)}}=\operatorname {sinc} {\bigg (}t-{\frac {1}{2}}{\bigg )}-2\operatorname {sinc} {\bigg (}2(t-{\frac {1}{2}}){\bigg )}$

$\psi _{k}^{n}(t)=2^{n/2}\psi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)$

進一步了解香農小波的構建可以參考。

尺度函數和母小波的性質

• 母小波是單位正交的：

$<\psi _{k}^{n}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=\delta ^{nm}\delta _{hk}={\begin{cases}1,&{\text{if }}h=k{\text{ and }}n=m\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

• 尺度 $n=0$ 的尺度函數的平移是正交的：

$<\phi _{k}^{0}(t),\phi _{h}^{0}(t)>=\delta ^{kh}$

• 尺度$n=0$的尺度函數和母小波時正交的：

$<\phi _{k}^{0}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=0$

• 香農小波有無窮階的消失矩

實香農小波

利用香農小波重建函數

假設信號 $f(x)\in L_{2}(\mathbb {R} )$ 滿足 $\operatorname {supp} \operatorname {FT} \{f\}\subset [-\pi ,\pi ]$ 並對任意伸縮和平移參數 $n,k$都有：

${\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\phi _{k}^{0}(t)dt{\Bigg |}<\infty$, ${\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi _{k}^{n}(t)dt{\Bigg |}<\infty$

則

$f(t)=\sum _{k=\infty }^{\infty }\alpha _{k}\phi _{k}^{0}(t)$ 是一致收斂的，其中 $\alpha _{k}=f(k)$

實香農小波

在傅里葉變換中，香農母小波由下式給出：

$\Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).$

其中（歸一化）門函數由下式定義：

$\prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if}}{\mbox{ otherwise}}.\\\end{cases}}$

實香農小波的解析表達式可由逆傅里葉變換得到：

$\psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)$

也可按：

$\psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t-1)-\operatorname {sinc} (t),$

其中

$\operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}$

是出現在香農採樣定理中的常見正弦函數。 該小波有$C^{\infty }$級的可微性，但是在無窮遠處緩慢減小並且沒有有界支撐，因為有頻帶限制的信號沒有時間限制。

對於香農MRA（或是正弦MRA）的縮放函數由下面示例函數給出：

$\phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).$

復香農小波

復連續香農小波由下式定義：

$\psi ^{(CSha)}(t)=\operatorname {sinc} (t).e^{-j2\pi t}$,

參考資料

• S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
• C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
• L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014， 9 pages.