泛函分析中,香農小波(英語:Shannon wavelet)(或Sinc小波)是由理想帶通濾波器進行信號分析定義的信號分解方法。香農小波可以是實小波,也可以是復小波。

香農小波在時域局域化特性不好(時域非緊支撐),但其傅里葉變換是帶限的(頻域是緊支撐)。因此香農小波的時間定位性能較差,但頻率定位性能良好。這些特徵恰好與哈爾小波相反,因為Haar和sinc系統是彼此的傅里葉對偶。

定義

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香農小波的構建從Sinc函數開始。

尺度函數

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首先由sinc函數定義香農小波的尺度函數:

 

其伸縮和平移為:

 

其中,  為伸縮和平移的參數。

尺度函數的傅里葉變換為:

 

其中(歸一化的)矩形函數定義為:

 

尺度函數在傅里葉域中的伸縮和平移定義為: 

母小波

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由尺度函數   和多分辨率近似,我們可以得出香農母小波在傅里葉域的形式:

 

其伸縮和平移形式為:

 

對其進行逆傅里葉變換,可以得到香農母小波函數的伸縮和平移形式:

 

 

進一步了解香農小波的構建可以參考[1]

尺度函數和母小波的性質

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  • 母小波是單位正交的:

 

  • 尺度   的尺度函數的平移是正交的:

 

  • 尺度 的尺度函數和母小波時正交的:

 

  • 香農小波有無窮階的消失矩
 
實香農小波

利用香農小波重建函數

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假設信號   滿足   並對任意伸縮和平移參數  都有:

 ,  

  是一致收斂的,其中  

實香農小波

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傅里葉變換中,香農母小波由下式給出:

 

其中(歸一化)門函數由下式定義:

 

實香農小波的解析表達式可由逆傅里葉變換得到:

 

也可按:

 

其中

 

是出現在香農採樣定理中的常見正弦函數。 該小波有 級的可微性,但是在無窮遠處緩慢減小並且沒有有界支撐,因為有頻帶限制的信號沒有時間限制。

對於香農MRA(或是正弦MRA)的縮放函數由下面示例函數給出:

 

復香農小波

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復連續香農小波由下式定義:

 ,

參考資料

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  • S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
  • C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
  • L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014, 9 pages.
  1. ^ 冉啟文; 譚立英. 小波分析与分数傅里叶变换及应用. 北京: 國防工業出版社. 2002. ISBN 7-118-02642-5. OCLC 50621155.