K-L變換

K-L轉換（英語：Karhunen-Loève Transform）是建立在統計特性基礎上的一種轉換，它是均方差（MSE, Mean Square Error）意義下的最佳轉換，因此在資料壓縮技術中佔有重要的地位。

K-L轉換名稱來自Kari Karhunen和Michel Loève。

K-L轉換是對輸入的向量x，做一個正交變換，使得輸出的向量得以去除數據的相關性。

然而，K-L轉換雖然具有均方差(MSE)意義下的最佳轉換，但必須事先知道輸入的訊號，並且需經過一些繁雜的數學運算，例如協方差(covariance)以及特徵向量(eigenvector)的計算。因此在工程實踐上K-L轉換並沒有被廣泛的應用，不過K-L轉換是理論上最佳的方法，所以在尋找一些不是最佳、但比較好實現的一些轉換方法時，K-L轉換能夠提供這些轉換性能的評價標準。

以處理圖片為範例，在K-L轉換途中，圖片的能量會變得集中，有助於壓縮圖片，但是實際上，KL轉算為input-dependent，即需要對每張輸入圖片存下一個轉換機制，每張圖都不一樣，這在實務應用上是不實際的。

原理

KL轉換屬於正交轉換，其處輸入訊號的原理如下：

對輸入向量$\mathbf {x}$做KL傳換後，輸出向量$\mathbf {X}$之元素間($u_{1}\neq u_{2}$, $u_{1}$和$u_{2}$為$\mathbf {X}$之元素的index)的相關性為零，即：$E[(X[u_{1}]-{\bar {X}}[u_{1}])(X[u_{2}]-{\bar {X}}[u_{2}])]=0$

展開上式並做消去：

$E[X[u_{1}]X[u_{2}]]-{\bar {X}}[u_{1}]{\bar {X}}[u_{2}]=0$

如果${\bar {x}}[n]=0$，因為KL轉換式線性轉換的關係，${\bar {X}}[n]=0$，則可以達成以下式，所以這裡得輸入向量$\mathbf {x}$之平均值${\bar {x}}$需為$0$，所以KLT是專門用於隨機程序的分析：

$E[X[u_{1}]X[u_{2}]]=0$

其中$u_{1}\neq u_{2}$，即輸出向量不同元素相關性為$0$。

回到矩陣表示形式，令$\mathbf {K}$為KL轉換矩陣，使：

$\mathbf {X} =\mathbf {Kx}$

以$\mathbf {K}$和$\mathbf {x}$表示$\mathbf {X}$之covariance矩陣：

$E[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]=E[\mathbf {K} \mathbf {x} \mathbf {x} ^{T}\mathbf {K} ^{T}]=\mathbf {K} E[\mathbf {x} \mathbf {x} ^{T}]\mathbf {K} ^{T}$

因為${\bar {x}}[n]=0$，$E[\mathbf {x} \mathbf {x} ^{T}]$直接等於covariance矩陣：

$E[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]=\mathbf {K} \mathbf {C} \mathbf {K} ^{T}$

其中$\mathbf {C}$為$\mathbf {x}$之covariance矩陣。

如果要使$E[X[u_{1}]X[u_{2}]]=0$，則$E[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]$必須為對角線矩陣，即對角線上之值皆為$0$，所以$\mathbf {K}$必須將傳換成對角線矩陣，即$\mathbf {K}$的每一行皆為$\mathbf {C}$之特徵向量。

K-L轉換的目的是將原始數據做轉換，使得轉換後資料的相關性最小。若輸入數據為一維：

$y[u]=\sum _{n=0}^{N-1}K[u,n]x[n]$

$K[u,n]=e_{n}[n]$

其中e_n為輸入訊號x共變異數矩陣(covariance matrix)C_x的特徵向量(eigenvector)

若輸入訊號x為二維：

$y[u,v]=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}K[u,m]K[v,m]x[m,n]$

與離散餘弦轉換的關係

二維之K-L轉換推導係自原先輸入信號之自協方矩陣

$C_{x_{i}x_{j}}=E[x_{i},x_{j}]$

亦即

$C_{x_{i}x_{j}}={\begin{bmatrix}E[x_{1},x_{1}]&E[x_{1},x_{2}]&E[x_{1},x_{3}]&\dots &E[x_{1},x_{j}]&\dots &E[x_{1},x_{N}]\\E[x_{2},x_{1}]&E[x_{2},x_{2}]&E[x_{2},x_{3}]&\dots &E[x_{2},x_{j}]&\dots &E[x_{2},x_{N}]\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\E[x_{i},x_{1}]&E[x_{i},x_{2}]&E[x_{i},x_{3}]&\dots &E[x_{i},x_{j}]&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\E[x_{M},x_{1}]&E[x_{M},x_{2}]&E[x_{M},x_{3}]&\dots &E[x_{M},x_{j}]&\dots &E[x_{M},x_{N}]\end{bmatrix}}$

而得，此處假設輸入信號x已經先減去平均值。

而當輸入彼此具高度相關性，如影像等，則可假設其在水平與垂直方向上得以被分離，並以水平與垂直之相關係數$\rho _{H},\rho _{V}$加以表示

假設$x_{i}$ 與 $x_{j}$ 之水平和垂直距離分別為$h,v$

則 $E[x_{i},x_{j}]=\rho _{H}^{h}\cdot \rho _{V}^{v}$

以一3x2之輸入 $X={\begin{bmatrix}x1&x2&x3\\x4&x5&x6\end{bmatrix}}$ 為例

此時 $C_{x_{i}x_{j}}={\begin{bmatrix}1&\rho _{H}&\rho _{H}^{2}&\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{H}^{2}\cdot \rho _{V}\\\rho _{H}&1&\rho _{H}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}\\\rho _{H}^{2}\rho _{V}&\rho _{H}&1&\rho _{H}^{2}\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{V}\\\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{H}^{2}\rho _{V}&1&\rho _{H}&\rho _{H}^{2}\\\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{H}&1&\rho _{H}\\\rho _{H}^{2}\rho _{V}&\rho _{H}\rho _{V}&\rho _{V}&\rho _{H}^{2}&\rho _{H}&1\end{bmatrix}}$

而對於任意尺寸的水平或垂直方向之協方差矩陣可以表示成

$C_{xx}={\begin{bmatrix}\rho &\rho ^{2}&\dots &\rho ^{N-1}\\\rho ^{2}&\rho &\dots &\rho ^{N-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\rho ^{N-1}&\rho ^{N-2}&\dots &\rho \end{bmatrix}}$

可發現其值僅與 $|i-j|$ 有關，取其閉合形式，其基底元素$v_{ij}$ 為

$v_{ij}={\sqrt {\frac {2}{N+\lambda _{j}}}}\sin {({\frac {(2i-N-1)\omega }{2}}+{\frac {j\pi }{2}})}$

此處 $\lambda _{j}$ 為 $C_{xx}$ 之特徵值

$\lambda _{j}={\frac {1-\rho ^{2}}{1-2\rho \,\cos {\omega _{j}}+\rho ^{2}}}$

其中 $\tan(N\omega _{j})=-{\frac {(1-\rho ^{2})\sin {\omega _{j}}}{\cos {\omega _{j}}-2\rho +\rho ^{2}\cos {\omega _{j}}}}$

對於不同的輸入影像，其$\rho$會有所不同，而若是令 $\rho \rightarrow 1$，則此轉換不必與輸入相關，同時繼承了K-L轉換去除相關性的優異性質。

此時 $\lambda _{j}=\left\{{\begin{matrix}N,&{\mbox{if }}j=1\\0,&{\mbox{if }}j\neq 1\end{matrix}}\right.$

代入上式，得 KLT|$\rho \rightarrow 1$ ，$v_{ij}=\left\{{\begin{matrix}{\sqrt {\frac {1}{N}}}\cos {\frac {(2i-1)(j-1)\pi }{2N}},&{\mbox{if }}j=1\\{\sqrt {\frac {2}{N}}}\cos {\frac {(2i-1)(j-1)\pi }{2N}},&{\mbox{if }}j\neq 1\end{matrix}}\right.$

離散餘弦轉換較K-L轉換在實務上較為有利，因其毋須紀錄會隨輸入而改變的轉換矩陣。

KLT與PCA的區別

KLT和主成分分析(PCA, Principle component analysis) 有相似的特性，二者之間有很細微的差異，其中KLT專門處理隨機性的訊號，但PCA則沒有這個限制。對PCA而言，這裡假設輸入訊號為ㄧ向量，輸入向量$\mathbf {x}$在乘上轉換矩陣$\mathbf {W}$之前，會先將輸入向量扣去平均值，即:

$\mathbf {X} =\mathbf {W} (\mathbf {x} -{\bar {x}})$

PCA會根據$\mathbf {x}$之covariance矩陣來選擇特徵向量做為轉換矩陣之內容：

$E[(\mathbf {x} -{\bar {x}})(\mathbf {x} -{\bar {x}})^{T}]=\mathbf {W\Lambda W} ^{T}$

其中$\mathbf {\Lambda }$為對角線矩陣且對角線值為特徵值。

由上述可見PCA和KLT之差異在於有沒有減去平均值，這是由於輸入資料分布的限制造成的，當輸入向量支平均值為零時，二這者沒有差異。

應用

在影像的壓縮上，目的是要將原始的影像檔用較少的資料量來表示，由於大部分的影像並不是隨機的分布，相鄰的像素(Pixal)間存在一些相關性，如果我們能找到一種可逆轉換(reversible transformation)，它可以去除數據的相關性，如此一來就能更有效地儲存資料，由於K-L轉換是一種線性轉換，並有去除資料相關性的特性，便可以將它應用在影像的壓縮上。此外，由於K-L轉換具有將訊號轉到特徵空間(eigenspace)的特性，因此也可以應用在人臉辨識上。

 參考文獻

1. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP8.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

2. Gerbrands, J.J., On the relationships between SVD, KLT, and PCA, Pattern Recogn., 14 (1981), pp. 375-381