MV-代數

在純數學分支抽象代數中，MV-代數（多值代數）是帶有二元運算 $\oplus$、一元運算 $\neg$ 和常量 $0$ 的滿足特定公理的代數結構。多值邏輯是 MV-代數的模型。

定義

設 A 是個集合。MV-代數是代數結構，帶有型 $\ \langle 2,1,0\rangle$ 的標識(signature) $\left\langle A,\oplus ,\lnot ,0\right\rangle ,$，它滿足如下恆等式：

• $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)$,
• $x\oplus 0=x$,
• $x\oplus y=y\oplus x$,
• $\lnot \lnot x=x$,
• $x\oplus \lnot 0=\lnot 0$,
• $\ \lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x$.

備註：通過前三個公理 $\left\langle A,\oplus ,0\right\rangle$ 是交換幺半群。

或者作為替代，MV-代數是一個剩餘格 $A=\left\langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\right\rangle$ 滿足額外恆等式

$\forall \ x,y\in A:x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y$。

Hájek (1998)描述了這兩個公式的等同。

例子

一個簡單的例子是 $A=[0,1]\,$，帶有定義為 $x\oplus y=min(x+y,1)$ 和 $\lnot x=1-x$ 的運算。

討論

在多值邏輯中，給定一個 MV-代數 A，一個 A-賦值就是從命題演算中公式的集合到 MV-代數的函數。如果對於所有 A-賦值這個函數把一個公式映射到 1（或 $\lnot$0），則這個公式是一個 A-重言式。因此對於無窮值邏輯（比如模糊邏輯、武卡謝維奇邏輯），我們設 [0,1] 是 A 的下層集合來獲得 [0,1]-賦值和 [0,1]-重言式（經常就叫做賦值和重言式）。

Chang 發明 MV-代數來研究波蘭數學家揚·武卡謝維奇（Jan Łukasiewicz）在 1920 年介入的多值邏輯。Chang 的完備定理(1958, 1959) 聲稱任何在 [0,1] 區間成立的 MV-代數等式也在所有 MV-代數中成立。通過這個定理，證明了無窮值的武卡謝維奇邏輯可以被 MV-代數所刻畫。後來同樣適用於模糊邏輯。這類似於在 {0,1} 成立的布爾代數等式在任何布爾代數中也成立，布爾代數因此刻畫了標準二值邏輯。

引用

• Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476-90.
• ------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74-80.
• Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I, M. L., Mundici, D., 2000. Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
• Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," Journal of Algebra 221: 123-31.
• Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.

外部連結

• Stanford Encyclopedia of Philosophy："Many-valued logic （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" -- by Siegfried Gottwald.

參見

• 布爾代數
• 武卡謝維奇邏輯