三乘積法則(triple product rule)是關於偏導數的一個恆等關係式,其表達式為:
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- 註釋:每一個變量可視作另外兩個變量的函數。偏導數的下標表示在此變量為常數的條件下求導。
三乘積法則用於熱力學關係式的推導。例如溫度、壓力和體積之間的關係滿足:
利用三乘積法則,可以將不易測量的關係用容易測得的物理量代替,如:
- 。
下面給出一個非正式的推導。設有函數f(x, y, z) = 0。若將z表示為x和y的函數,則全微分dz等於
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在dz = 0的軌跡上,x和y之間滿足
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於是將dz = 0帶入上式,
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重排得
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將所有偏導數移到等式左邊,
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此證明假定了偏導數存在,以及全微分dz存在,偏導數不為零從而能取倒數。數學分析的正式證明能避免這些隱含假定。
- Elliott, JR, and Lira, CT. Introductory Chemical Engineering Thermodynamics, 1st Ed., Prentice Hall PTR, 1999. p. 184.
- Carter, Ashley H. Classical and Statistical Thermodynamics, Prentice Hall, 2001, p. 392.