不等

數學上，不等是表明兩個物件的大小或者順序的二元關係，與相等相對。不等關係主要有四種：

• $a<b$，即$a$小於$b$
• $a>b$，即$a$大於$b$

上述兩個屬於嚴格不等。

• $a\leq b$，即$a$小於等於$b$
• $a\geq b$，即$a$大於等於$b$
• $a\neq b$，即$a$不等於$b$

將兩個表達式用不等符號連起來，就構成了不等式。

若不等關係對變量的所有元素都成立，則稱其為「絕對的」或「無條件的」。若不等關係只對變量的部分取值成立，而對另一部分將改變方向或失效，則稱為條件不等。

不等式兩邊同時加或減相同的數，或者兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等關係不變。不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等關係改變方向。

符號$a\gg b$表示$a$「遠大於」$b$。其含義是不確定的，可以是 100 倍的差異，也可能是10個數量級的差異。和方程相聯繫，它被用來給出一個非常大的值而使方程的輸出滿足一個特定的結果。

性質

不等具有下列性質：

三一律：

對任意實數$a$、$b$，只有下列之一是真的：

• $a<b$
• $a=b$
• $a>b$

調換性質：

對任意實數$a$、$b$：

• $a<b$ 和 $b>a$ 是等價的。
• $a\leq b$ 和 $b\geq a$ 是等價的。

遞移性：

對任意實數$a$、$b$、$c$：

• 如果 $a<b$ 且 $b<c$，則 $a<c$。
• 如果 $a\leq b$ 且 $b\leq c$，則 $a\leq c$。
• 如果 $a<b$ 且 $b\leq c$，則 $a<c$。
• 如果 $a\leq b$ 且 $b<c$，則 $a<c$。

加法性質：

對任意實數$a$、$b$、$c$：

• 若 $a>b$；則 $a+c>b+c$ 。
• 若 $a<b$；則 $a+c<b+c$。

乘法性質：

對任意實數$a$、$b$、$c$，且有$c\neq 0$：

• 若$c$為 正數 且 $a>b$；則 $ac>bc$。
• 若$c$為 正數 且 $a<b$；則 $ac<bc$ 。
• 若$c$為 負數 且 $a>b$；則 $ac<bc$ 。
• 若$c$為 負數 且 $a<b$；則 $ac>bc$。

注意：當遇上不等關係求解時，比如已知 $A>B$，$C>D$，不可以認為 $A-C>B-D$，但根據此描述可知 $A-D>B-C$ 是真的。

連鎖表示法

• $a<b<c$ 代表「$a<b$ 且 $b<c$」。
• $a\leq b\leq c$ 代表「$a\leq b$ 且 $b\leq c$」。
• $a<b\leq c$ 代表「$a<b$ 且 $b\leq c$」。
• $a\leq b<c$ 代表「$a\leq b$ 且 $b<c$」。

舉例

• 若$x>0$ ；則

$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},$

• 若$x>0$；則

$x^{x^{x}}\geq x\,$

• 若$x,y,z>0$；則

$(x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,$

• 若$x,y,z>0$；則

$x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},$

• 若$a,b>0$；則

$a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,$

• 若$a,b>0$；則

$a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,$

• 若$a,b,c>0$；則

$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,$

• 若$a_{1},\ldots ,a_{n}>0$；則

$a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1$

• 對於實數 $a$、$b$、$c$、$d$，若 $a<b$ 且 $c<d$；則

  $a+c<b+d$

  (例-1)

  證明
  $a<b$ (10) [前提] $c<d$ (15) [前提] $a-b<0$ (20) 源自 (10) $0<d-c$ (25) 源自 (15) (20) 及 (25) 經由遞移性質可以得到 $a-b<d-c$ (30) 源自 (20) (25) $a-b+(b+c)<d-c+(b+c)$ (35) 源自 (30) $a+c<b+d$ (40) 源自 (35) [結論]

• 對於實數 $a$、$b$、$c$、$d$，若 $a<b$ 且 $c<d$；則

$a-d<b-c$

(例-2)

證明
$a<b$ (45) [前提] $c<d$ (50) [前提] $-c>-d$ (55) 源自 (50) $-d<-c$ (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 經由 (例-1) 可以得到 $a+(-d)<b+(-c)$ (65) 源自 (45) (60) $a-d<b-c$ (70) 源自 (65) [結論]

參見

• 二元關係
• 偏序關係
• 不等號
• 不等式列表