傳遞矩陣法

傳遞矩陣法（英語：Transfer-matrix method）是一種在統計力學計算中使用的數學技巧。其基本思想是，對於只有相鄰粒子間存在相互作用的體系，其配分函數可寫作以下形式：

{\mathcal {Z}}=\mathbf {v} _{0}\cdot \left\{\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right\}\cdot \mathbf {v} _{N+1}

其中v₀和v_N+1是p維向量，代表邊界上的粒子的狀態。W_k為所謂的「傳遞矩陣」，矩陣元素代表相鄰兩粒子各種狀態下相互作用的統計權重，其連乘的展開即為系統各種可能的狀態統計權重之和——配分函數。如果忽略邊界，或視作周期性邊界，配分函數即為

{\mathcal {Z}}=\mathrm {tr} \left\{\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right\}

「tr」為矩陣的跡。數學上，矩陣的跡等於所有特徵值之和。若所有傳遞矩陣W_k都相同，傳遞矩陣的連乘即為W^N，其各特徵值為W矩陣各特徵值λ的N次方，又因為在熱力學極限下粒子數目很大，只有最大的特徵值對配分函數有明顯貢獻：

{\mathcal {Z}}=\mathrm {tr} \left\{\mathbf {W} ^{N}\right\}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{N}\approx \lambda _{\text{max}}^{N}

由此，配分函數可通過求解傳遞矩陣的特徵值精確導出。

當一個體系可以分解為一系列只有相鄰元素相作用的子體系時，可考慮應用傳遞矩陣法。例如，三維立方伊辛模型可視作一層層二維伊辛模型的堆砌，只有相鄰的子系統之間有相互作用。子系統可能的狀態數是p，那麼傳遞矩陣W_k的維度為pxp，而矩陣元素的大小與各狀態的統計權重有關。

傳遞矩陣法是一些統計力學模型精確解的關鍵。例如Zimm-Bragg模型（英語：Zimm-Bragg model）和Lifson-Roig模型（英語：Lifson-Roig model）解釋溶液中線形高分子的螺旋-線團轉變（英語：helix-coil transition model），蛋白質-DNA結合模型的傳遞矩陣法解，以及物理學史上著名的拉斯·昂薩格給出的二維易辛模型解析解。

參考資料