函數域

在代數幾何中，一個整概形 $X$ 的函數域 $K_{X}$ 由 $X$ 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 $K_{X}$ 所決定的幾何性質。

整概形的情形

定義

若 $X$ 是仿射整概形，$U\subset X$ 為開集，則定義 $K_{X}(U)$ 為 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ 的分式域。此時 $K_{X}$ 是 ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ 的分式域的常數層。

若 $X$ 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 $U\subset X$，可以一致地定義 $K_{X}(U):=K_{V}(U\cap V)$，其中 $V$ 是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為 $X$ 的函數域。另一種等價定義是 ${\mathcal {O}}_{X}$ 在一般點的莖。

函數域與維度

設 $k$ 為域，$X$ 為不可約 $k$-代數簇，則 $K_{X}$ 是 $k$ 的域擴張，有時也寫作 $k(X)$。此擴張的超越次數等於 $\dim X$，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。

例子

• $\mathbb {Z}$ 的函數域是 $\mathbb {Q}$。

以下設 $k$ 為域。

• 單點 $\mathrm {Spec} (k)$ 的函數域是 $k$ 本身。
• 仿射直線 $\mathbb {A} _{k}^{1}$ 與射影直線 $\mathbb {P} _{k}^{1}$ 的函數域都是 $k(t)$，其中 $t$ 是 $k$ 上的超越元。
• 考慮平面曲線 $y^{2}=x^{5}+1$，其函數域是 $k(x,y)$，其中 $x,y$ 是 $k$ 上滿足 $y^{2}=x^{5}+1$ 的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 $k$ 為有限域時，$k$-代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。

一般概形的情形

當 $X$ 不是整概形時，${\mathcal {O}}_{X}$ 在開集上的截面可能有零因子，此時分式域並不存在（詳見 Kleiman 的文章）。正解如下：

對任一開集 $U\subset X$，令 $S_{U}$ 為 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ 中的非零因子集，這是一個積性集。命 $K_{X}^{p}(U):=S_{U}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}(U)$（即 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ 的全分式環）。$K_{X}^{p}$ 構成 $X$ 上的預層。令 $K_{X}$ 為其層化，此即 $X$ 的有理函數層，它是 ${\mathcal {O}}_{X}$-代數構成的層。

若 $X$ 局部上可以分解成有限個整概形 $X=\bigcup X_{i}$（這對局部諾特概形皆成立），則對任何開集 $U$ 有

$K_{X}(U)=\bigoplus _{X_{i}\cap U\neq \emptyset }K_{X_{i}}$

此時 $K_{X}$ 是 $X$ 上的擬凝聚層。

與亞純函數域的關係

在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展複分析，由此可以定義複解析簇上的亞純函數；亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 $\mathbb {C}$-代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$）；若加上緊緻條件，則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。

文獻

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法語）.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Kleiman, S., "Misconceptions about K_X", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206