印符數論(英語:Typographical Number Thoery,簡稱TNT),是一種用來描述自然數的形式公理系統,由侯世達在《哥德爾、埃舍爾、巴赫》一書中提出。TNT是皮亞諾算術的一種實現,侯世達以此來解釋哥德爾不完備定理

如同其他實現皮亞諾公理的系統,TNT是自指的。

數字

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TNT並沒有對每一自然數指定不同的符號,而是使用一種統一的方式來表示所有自然數。其中符號S可理解為「後繼」之意。

0
S0
SS0
SSS0
SSSS0
SSSSS0

變元

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為了表示不定項,TNT中使用了五個變元,分別為:

a, b, c, d, e

通過添加撇號可以構造出更多的變元,如:

a', b', c', a'', a'''

另外一種「簡樸的」版本的TNT僅使用a與撇號表示變元:

a', a'', a''', ...

操作符

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加法與乘法

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TNT中使用「+」表示加法、「·」表示乘法。因此「b加c」可表示為

(b + c)

而「a乘d」則可以寫為

(a·d)

其中括號是必須的。此外加法與乘法都是二元運算,因而「a加b加c」改須寫為

((a + b) + c)

(a + (b + c))

等於

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「=」在TNT中表示「等於」的概念,例如

(SSS0 + SSS0) = SSSSSS0

在TNT中是一個真命題,表示「3加3等於6」。

否定

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「~」表示否定之意,例如

~(SSS0 + SSS0) = SSSSSSS0

在TNT中是一個真命題,表示「3加3不等於7」。

其中否定是指邏輯非,例如「我在吃葡萄柚」的否定是「我不在吃葡萄柚」,而不是「我在吃葡萄柚以外的東西」。又比如,「電視開着」的否定是「電視沒有開着」,而不是「電視關着」。

量詞

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TNT中使用了∀(全稱量詞,表示「任何」)與∃(存在量詞,表示「存在」)兩個量詞。例如,

∀a:∀b:[ (a + b) = (b + a) ]

(「對任意數a與數b,a加b等於b加a」,或用更概括的說法為「加法是可交換的」)

~∃c:Sc = 0

(「不存在數c使得c加一等於零」,或用更概括的說法為「零不是任何數的後繼」)

原子與命題陳述

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命題演算中除原子符號外的所有符號都被用於TNT之中,並保持原來的解釋。

原子則被關於相等陳述的串替代,如

1不等於2:

~ S0=SS0

2加3等於5:

(SS0 + SSS0) = SSSSS0

2加2不等於3:

~[ (SS0 + SS0) = SSS0 ]

參考文獻

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  • Hofstadter, Douglas R., Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Basic Books, 1999 [1979], ISBN 0-465-02656-7 .