增乘開平方法
增乘開平方法是北宋數學家賈憲發明的開方算法，原收《釋鎖算書》一書。賈憲原作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，被抄入《永樂大典》卷一萬六千三百四十四，幸得以保存下來[1]。現存英國劍橋大學圖書館。 楊輝在所著《詳解九章算法》《開方作法本元》一章中作賈憲開方作法圖，並說明「楊輝詳解開方本源，出《釋鎖算書》，賈憲用此術」。[2]。
術文
編輯增乘開平方法，以商數乘下法遞增求之。
商第一位。上商得數以乘下法為乘方。命上商除實。上商得數以乘下法入乘方。一退為廉，下法再退。
商第二位。商得數以乘下法為隅。命上商除實訖。以上商乘下法入隅，皆名曰廉。一退，下法再退，以求第三位商數。
商第三位。用法如第二位求之。
算籌十進位制布位
編輯- 算籌的布位。賈憲在紙上用書寫方式將算籌碼按十進位制布位。七萬一千八百二十四分寫兩行：
| 七 | 一 | 八 | 二 | 四 |
|---|---|---|---|---|
| 萬 | 千 | 百 | 十 | 步 |
下行的步、十、百、千、萬分離出來變為算籌的位值標籤；上行七一八二四成為十進位制數碼。
然後將算籌碼依次排在相應的位值標籤步、十、百、千、萬之下：
| 七 | 一 | 八 | 二 | 四 |
|---|---|---|---|---|
| 萬 | 千 | 百 | 十 | 步 |
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楊輝算草
編輯楊輝以七萬一千八百二十四為例，列出詳細算草。
算草分四行，被除數放在第二行，稱為實，第一行是商，第四行為下法，第三行是廉。
將算籌 放在第四行萬字之下。
| 商 | |||||
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實 |
| 廉 | |||||
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下法 |
第一步先估計第一個商數得2，將
安置在第一行百位置之上。
將上商2乘下法1，得數2，放在第三行。命上商除實，二二得四，從 萬減去四萬得
萬。
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商 | ||||
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實 |
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廉 | ||||
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下法 |
求第二個商數：將上商乘下法二一得二，加入廉二，成為 。
將廉數 （萬）退一位成為
（千）；將下法 退二位。
作減根變換 ，得
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商 | ||||
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實 |
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廉 | ||||
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下法 |
估第二位商數得6，將新商數6乘下法1（百）得6（百）併入廉。
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商 | |||
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實 |
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廉 | |||
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下法 |
從實除去商6乘廉46
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商 | |||
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實 | |
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廉 | |||
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下法 |
商數6乘下法1，併入廉
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商 | |||
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實 | |
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廉 | |||
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下法 |
廉數退一位，下法退二位，估第三位商得8；商乘下法併入廉
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商 | ||
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實 | |
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廉 | ||
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下法 |
從實除去商乘廉；淨除。七萬一千八百二十四的平方根是二百六十八。
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商 | ||
| 實 | |||||
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廉 | ||
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下法 |
用增乘開平方法可解得 。
參考文獻
編輯引用
編輯來源
編輯- 錢寶琮：《增乘開方法的歷史發展》，《李儼錢寶琮科學史全集》卷9 479-488頁
