增乘開平方法

增乘開平方法北宋數學家賈憲發明的開方算法,原收《釋鎖算書》一書。賈憲原作已佚,但他對數學的重要貢獻,被南宋數學家楊輝引用,被抄入《永樂大典》卷一萬六千三百四十四,幸得以保存下來[1]。現存英國劍橋大學圖書館。 楊輝在所著《詳解九章算法》《開方作法本元》一章中作賈憲開方作法圖,並說明「楊輝詳解開方本源,出《釋鎖算書》,賈憲用此術」。[2]

永樂大典楊輝增乘開方法
賈憲增乘開平方法

術文

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增乘開平方法,以商數乘下法遞增求之。

商第一位。上商得數以乘下法為乘方。命上商除實。上商得數以乘下法入乘方。一退為廉,下法再退。

商第二位。商得數以乘下法為隅。命上商除實訖。以上商乘下法入隅,皆名曰廉。一退,下法再退,以求第三位商數。

商第三位。用法如第二位求之。

算籌十進位制布位

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  • 算籌的布位。賈憲在紙上用書寫方式將算籌碼按十進位制布位。七萬一千八百二十四分寫兩行:

下行的步、十、百、千、萬分離出來變為算籌的位值標籤;上行七一八二四成為十進位制數碼。

然後將算籌碼依次排在相應的位值標籤步、十、百、千、萬之下:

         

楊輝算草

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楊輝以七萬一千八百二十四為例,列出詳細算草。 算草分四行,被除數放在第二行,稱為,第一行是商,第四行為下法,第三行是廉。 將算籌 放在第四行萬字之下。 

         
  下法

第一步先估計第一個商數得2,將 安置在第一行百位置之上。 將上商2乘下法1,得數2,放在第三行。命上商除實,二二得四,從 萬減去四萬得 萬。

 
         
 
  下法

求第二個商數:將上商乘下法二一得二,加入廉二,成為 。 將廉數 (萬)退一位成為 (千);將下法 退二位。

作減根變換  ,得  

 
         
 
  下法

估第二位商數得6,將新商數6乘下法1(百)得6(百)併入廉。

   
         
   
  下法

從實除去商6乘廉46

   
       
   
  下法

商數6乘下法1,併入廉

   
       
   
  下法

廉數退一位,下法退二位,估第三位商得8;商乘下法併入廉

     
       
     
  下法

從實除去商乘廉;淨除。七萬一千八百二十四的平方根是二百六十八。

     
     
  下法

用增乘開平方法可解得  

參考文獻

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引用

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  1. ^ 吳文俊主編 《中國數學史大系》第五卷 第二編第一章賈憲 30-40
  2. ^ 吳文俊主編 中國數學史大系第五卷 第六編第一章楊輝 565

來源

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  • 錢寶琮:《增乘開方法的歷史發展》,《李儼錢寶琮科學史全集》卷9 479-488頁

參見

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