婆羅摩笈多-斐波那契恆等式

定理

婆羅摩笈多-斐波那契恆等式 是以下的恆等式:

這個恆等式說明了如果有兩個數都能表示為兩個平方數的和,則這兩個數的積也可以表示為兩個平方數的和。例如,

(1)和(2)都可以用展開多項式的方法來證實。(2)可以通過把(1)中的換成來得出。

這個等式在整數環有理數環中都成立。更一般地,在任何的交換環中都成立。

它在數論中有很多應用,例如費馬平方和定理說明任何被4除餘1的質數都能表示為兩個平方數的和,則根據婆羅摩笈多-斐波那契恆等式,任何兩個被4除餘1的質數的積也都能表示為兩個平方數的和。

證明

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而若將  互換位置,即可得

 

相關等式

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四平方和恆等式是一個類似的等式,含有四個平方和,與四元數有關。還有一個八平方和恆等式英語Degen's eight-square identity

與複數的關係

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如果    實數,那麼這個等式與複數的絕對值的乘法性質是等價的,也就是說:

 

由於

 

兩邊平方,得

 

根據絕對值的定義,

 

用範數來解釋

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    有理數的情況中,這個等式可以解釋為 範數是積性的。也就是說:

  

而且

 

所以,這個等式就是說

 

參見

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外部連結

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