巴塞爾問題

数学问题

巴塞爾問題是一個著名的數論問題,這個問題首先由意大利數學家皮耶特羅·門戈利英語Pietro_Mengoli在1644年提出,瑞士數學家萊昂哈德·歐拉於1735年解決。由於這個問題難倒了以前許多的數學家,年僅二十八歲的歐拉因此一舉成名。歐拉把這個問題作了一番推廣,他的想法後來被德國數學家黎曼在1859年的論文《論小於給定大數的質數個數》(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse)中所採用,論文中定義了黎曼ζ函數,並證明了它的一些基本的性質。這個問題是以瑞士的第三大城市巴塞爾命名的,它是歐拉和伯努利家族的家鄉。

這個問題是精確計算所有平方數倒數的和,也就是以下級數的和:

這個級數的和大約等於1.644934OEIS數列A013661)。巴塞爾問題是尋找這個數的準確值,並證明它是正確的。歐拉發現準確值是,並在1735年公佈;彼時他給出了一個錯誤的證明,真正嚴密的證明在1741年給出。

收斂性證明

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利用放縮法可以簡便地證明級數 有界,並由單調收斂定理得到收斂性。

注意到   。故

 

 

歐拉的錯誤證明

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歐拉最初推導 的方法是聰明和新穎的。他假設有限多項式的性質對於無窮級數也是成立的。然而,歐拉沒有證明此一假設,且此一假設在一般情況下也是錯誤的。不過他計算了級數的部分和後發現,級數確實趨近 ,不多不少。這給了他足夠的自信心,把這個結果公諸於眾。

歐拉的方法是從正弦函數泰勒級數展開式開始:

 

兩邊除以 ,得:

 

現在, 的根出現在 ,其中 我們假設可以把這個無窮級數表示為線性因子的乘積,就像把多項式因式分解一樣:

 

如果把這個乘積展開,並把所有有 的項收集在一起,我們可以看到,  的二次項系數為:

 

但從 原先的級數展開式中可以看出, 的系數是 。這兩個系數一定是相等的;因此,

 

等式兩邊乘以 就可以得出所有平方數的倒數之和。

 

黎曼ζ函數

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黎曼ζ函數ζ(s)是數學中的一個很重要的函數,因為它與質數的分佈密切相關。這個函數對於任何實數部分大於1的複數s都是有定義的,由以下公式定義:

 

s = 2,我們可以看出ζ(2)等於所有平方數的倒數之和:

 

用以下的等式,可以證明這個級數收斂:

 

因此ζ(2)的上界小於2,因為這個級數只含有正數項,它一定是收斂的。可以證明,當s是正的偶數時,ζ(s)可以用伯努利數來表示。設 ,有以下公式:

 

嚴密的證明

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以下介紹了一個 的證明。它是目前已知最基本的證明,大部分其它的證明都需要用到傅立葉分析複分析多變量微積分,但這個證明連一元微積分也不需要(在證明的最後部分需要使用極限的概念)。

考慮面積, 

 
 
 

這個證明的想法是把以下的部分和固定在兩個表達式之間,這兩個表達式當m趨於無窮大時都趨於 

 

這兩個表達式從餘切和餘割的恆等式推出。而這些恆等式則從狄默夫定理推出。

x為一個實數,滿足0 < x < π/2,並設n為正整數。從狄默夫定理和餘切函數的定義,可得:

 

根據二項式定理,我們有:

 
 

把兩個方程合併,由於相等的兩個複數的虛數部分也一定相等,因此有:

 

固定一個正整數m,設n = 2m + 1,並考慮xr = r π/(2m + 1)對於r = 1、2、……、m。那麼nxr是π的倍數,因此是正弦函數的零點,所以:

 

對於所有的r = 1、2、……、mx1、……、xm是區間(0, π/2)內不同的數。由於函數cot2 x在這個區間內是一一對應的,因此當r = 1、2、……、m時,tr = cot2 xr的值各不同。根據以上方程,這些m個"tr"是以下m次多項式的根:

 

根據韋達定理,我們可以直接從這個多項式的頭兩項計算出所有根的和,因此:

 

把恆等式csc2 x = cot2 x + 1代入,可得:

 

現在考慮不等式cot2 x < 1/x2 < csc2 x。如果我們把對於xr = r π/(2m + 1)的所有不等式相加起來,並利用以上的兩個恆等式,便可得到:

 

把不等式乘以(π/(2m + 1))2,便得:

 

m趨於無窮大時,左面和右面的表達式都趨於 ,因此根據夾擠定理,有:

 

證畢。

二重積分的證明

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首先考慮二重積分 的級數展開形式,其中區域D1x∈(0,1)且y∈(0,1)的正方形區域:

 

接下來考慮做如下轉換:

 

相當於將正方形區域D1旋轉45°之後變成D2,但仍然保持其形狀與面積,其中正方形D2的四個頂點在(u,v)下的坐標分別是    

 

最後一行用到的是偶函數的性質化簡積分,並且將加號前後的兩個積分(包括前面的系數)簡記為I1I2。先計算I1,下面變量代換設 ,則有 

 

類似地,再計算I2,下面變量代換設 ,則有 ,並且交換積分上下限從負號變回正號:

 

最終可以得到:

 

證畢。

傅立葉級數的證明

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設有函數 ,其定義域為 。這個函數的傅立葉級數是:

 

根據帕塞瓦爾恆等式,我們有:

 

因此

 

證畢。

參考文獻

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外部連結

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