布魯薛-培根檢驗

在統計學中，布魯薛－培根檢驗（英語：Breusch–Pagan test，Breusch-Pagan檢驗，常簡稱BP檢驗）是1979年由布倫斯和帕甘提出的方法，用來檢驗線性迴歸模型中是否存在異方差的問題。另外，丹尼斯·庫克和韋斯伯格在1983年獨立地提出了類似的方法。異方差的存在意味着模型的方差與自變量是相關的。

設迴歸模型為

$y=\beta _{0}+\beta _{1}x+u,\,$

對其進行迴歸可以得到一組殘差${\widehat {u}}$。普通最小平方法要求方差與自變量無關，這時方差可以由殘差平方和的平均值估計得到。但如果這個前提不成立，例如方差與自變量線性相關，就可以通過下列輔助迴歸，即殘差平方對自變量進行迴歸檢驗出來：

${\widehat {u}}^{2}=\gamma _{0}+\gamma _{1}x+v.\,$

這就是BP檢驗的一個情形。它實質上是卡方檢驗，檢驗統計量漸進於$n\chi ^{2}$，自由度與除常數項外的解釋變量數相等。如果得到的p值小於一定閾值（如0.05）就可以拒絕虛無假設並認為異方差存在。

如果BP檢驗表明存在異方差存在，可以視情況使用加權最小平方法（適用於異方差的分佈已知時）或異方差穩健標準誤方法。

流程

根據高斯-馬可夫定理，在同方差的前提下，普通最小平方估計是最佳的線性無偏估計，意即其方差相較其他任何估計量都更小。如果異方差存在，估計結果仍是無偏的，但其方差並不是最小的。在決定使用哪種估計方法之前，可以先進行BP測試來判斷是否存在異方差。BP檢驗的前提是方差$\sigma _{i}^{2}=h(x_{i}^{T}\gamma )$與各個自變量有關，其中$x_{i}=(1,x_{2i},\ldots ,x_{pi})$是自變量，這裏除去常數項以外共有$p-1$個解釋變量。虛無假設亦即異方差不存在等價於$(p-1)$個約束：

$\gamma _{2}=\cdots =\gamma _{p}=0.$

BP測試分為以下三個步驟：

• 第一步：對原始模型進行普通最小平方估計

$y=X\beta +\varepsilon$

並對每個觀測都計算出殘差$e_{i}$。

• 第二步：進行下列輔助迴歸

$e_{i}^{2}=\gamma _{1}+\gamma _{2}x_{2i}+\cdots +\gamma _{p}x_{pi}+\eta _{i}$

• 第三步：檢驗統計量LM等於第二步中輔助迴歸的決定系數乘以樣本大小$n$：

${\text{LM}}=nR^{2}\,.$

如果同方差的虛無假設成立，LM統計量是漸進於$\chi _{p-1}^{2}$分佈的。

軟件實現

在R語言中，能夠完成BP檢驗的函數包括car包中的ncvTest函數、lmtest包中的bptest函數以及plm包中的plmtest函數等。

而Stata中計算迴歸後使用estat hettest命令，參數填寫所有獨立變量，即可進行BP檢驗。

在Python中，statsmodels.stats.diagnostic（statsmodels包）中的函數het_breuschpagan可進行BP檢驗。

參見

• 懷特檢驗

拓展閱讀

• Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. Basic Econometrics Fifth. New York: McGraw-Hill Irwin. 2009: 385–86. ISBN 978-0-07-337577-9. 
• Kmenta, Jan. Elements of Econometrics Second. New York: Macmillan. 1986: 292–298. ISBN 0-02-365070-2. 
• Krämer, W.; Sonnberger, H. The Linear Regression Model under Test. Heidelberg: Physica. 1986. 
• Maddala, G. S.; Lahiri, Kajal. Introduction to Econometrics Fourth. Chichester: Wiley. 2009: 216–218. ISBN 978-0-470-01512-4.