施瓦茨引理有一個變體稱為施瓦茨-皮克定理(Schwarz-Pick theorem),刻畫了單位圓盤的解析自同構(即單位圓盤到自身的全純雙射)的特性。
設 全純。那麼,對所有 ,
- ,
並且,對任意 ,
- 。
以下表達式
-
是龐加萊度量下兩點 的距離。龐加萊度量就是二維雙曲幾何的龐加萊圓盤模型的度量。這定理本質上就是說單位圓盤到自身的全純映射會減小各點之間的龐加萊距離。若以上兩不等式有一式的等號成立(就是說這個全純映射保持龐加萊度量下的距離),那麼f一定是單位圓盤的解析自同構,由單位圓盤到自身的莫比烏斯變換所給出。
關於上半平面 有一個相似的命題:
設 全純。那麼,對所有 ,
- ,
這是上面提到的施瓦茨-皮克定理的簡單推論:只要注意到凱萊變換 把上半平面 共形地映為單位圓盤 。則 是 到自身的全純映射,對這個映射使用施瓦茨-皮克定理,並化簡,就能得到想要的結果。還有,對所有
-
若以上兩個不等式中有一式等號成立,那麼 必是實系數的莫比烏斯變換。也就是說,若等號成立,則有
- ,
其中 是實數,並且 。
以下形式的莫比烏斯變換
把單位圓映到自身。固定 並定義莫比烏斯變換
由於 ,且莫比烏斯變換是可逆的,所以複合 把0映為0,把單位圓盤映到自身。從而可以使用施瓦茨引理,得到
記 ,就得到想要的結論
要證明定理的第二部分,把上式左邊整理成差商的形式
令 趨向於 即得。
施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理給出對雙曲流形的類似結果。
De Brange定理,以前稱為Bieberbach猜想,是該引理的一個重要推廣。
Koebe四分之一定理,給出了f是單值的情況下的一個相關的估計。
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3)