李亞普諾夫指數

在數學領域中,李亞普諾夫指數Lyapunov exponent)或李亞普諾夫特徵指數Lyapunov characteristic exponent)用於量化動力系統中無限接近的軌跡之間的分離率。具體而言,相空間中初始間隔的兩條軌跡的分離率為(假定分離可按線性近似來處理)

其中即為李亞普諾夫指數。

當初始分離向量的方向不同時,其分離率也不同。因而存在李亞普諾夫指數譜spectrum of Lyapunov exponents),其數量與相空間的維度相同。通常將其中最大的稱為最大李亞普諾夫指數Maximal Lyapunov exponent,簡稱MLE),因為它決定了動力系統的可預測性。正的MLE通常表明系統是混沌的(假定其他條件滿足,如相空間的緊緻性)。需要注意的是,任意初始分離向量一般包括了MLE所在方向的部分分量,由於其隨指數增長的特徵,其他分量的效果隨着時間最終會被掩蓋。

李亞普諾夫指數是以俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫的名字命名的。


最大李亞普諾夫指數

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最大李亞普諾夫指數定義為

 

極限 確保任何時間線性近似的可行性[1]

對離散時間系統(映射或迭代) 和以 為起始的軌跡,上式可以轉換成

 

參考文獻

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  1. ^ Cencini, M.; et al. World Scientific , 編. Chaos From Simple models to complex systems. 2010. ISBN 978-981-4277-65-5.