根軸

到兩圓圓冪相等的點的軌跡

根軸(英語:radical axis)是由兩個唯一確定的,與兩圓連心線垂直的直線,其定義為關於兩圓的圓冪相等的點的軌跡

性質

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幾何形狀及其位置的確定

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令向量   分別為根軸上的點  、兩圓圓心  的位置。則根軸的「曲線」方程為:

 

 
 
 的定義和計算

從右等式可知根軸是一條垂直於連心線的直線。因 內積大小僅由  方向的分量決定,所以根軸是一條垂直於連心線的直線。

根軸在連心線上的垂足 與圓心  的距離  分別滿足
 ,
其中  .

如果兩圓相交,則根軸為它們交點的連線;如果兩圓相切,則根軸為它們的公切線[1]:27

根心

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定義

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三個圓能畫出三條根軸,這三條根軸交於一點,稱為三個圓的根心,若三個圓的圓心共線,則其根心為垂直於連心線方向上的無窮遠點[1]:27

存在性的證明

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考慮三圓   兩兩構成的三條根軸。令   根軸以及  根軸的交點。有

  

其中 表示點 關於圓 的冪。

則知點 關於  的圓冪都相等,因此它在第三條根軸上,換言之,三條根軸共點,存在根心。

參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 Chen, Evan. 2.3 The Radical Axis and Radical Center (PDF). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 26–30 [2023-01-23]. ISBN 978-1-61444-411-4. MR 3467691. (原始內容存檔 (PDF)於2023-01-23). 

外部鏈結

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