格爾斯滕哈伯代數

格爾斯滕哈伯代數是Gerstenhaber在研究結合代數的形變時發現的。一個結合代數的形變跟它的Hochschild上復形有密切的關係,Gerstenhaber證明,Hochschild上復形實際上形成一個微分分次李代數,並且這個微分分次李代數完全控制了該結合代數的形變。Gerstenhaber的研究受到小平邦彥(Kodaira)-Spencer關於流形復結構形變研究的啟發,這些思想後來由Deligne和Kontsevich等人加以系統完成。

在下面後4個例子中,例2和例3是1990年代之前發現的,1993年,Deligne在給一些數學家的通信中猜測它們之間也許是有關係的,用數學語言表述,即:對任何一個結合代數,其Hochschild上復形是little disks operad的鏈(chain) operad上的代數。這就是著名的Deligne猜想,最後由Kontsevich-Soibelman[1],McClure-Smith[2],Tamarkin[3]和Voronov[4]等人解決。Deligne猜想的證明涉及到了很多高深的數學工具,而這些工具都與拓撲共形場論有着密切的聯繫,因而引起了很多人的興趣。

稍後,在1997年,Chas和Sullivan的研究論文發表了名為弦拓撲的論文[5],發現了例5。他們的研究結果引起了數學家們很大的關注和進一步的研究,從而開闢了一門嶄新的學科。

最後,需要補充的是,關於Gerstenhaber代數的研究往往伴隨着Batalin-Vilkovisky代數(簡稱BV代數)的研究。BV代數是一類特殊的Gerstenhaber代數,往往由Gerstenhaber代數裡面的某種對稱性而得到,如[6][5]

定義

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 數域   上的一個分次向量空間  上的一個格爾斯滕哈伯代數結構是三元組  ,滿足以下關係:

  1.    上的分次、交換、結合的代數
  2.  是李括號次數為 -1 的分次李代數
  3. 李括號對其兩個變元都是乘積  導子,即對任給  
 

有些文獻也把格爾斯滕哈伯代數稱為辮代數(braid algebra)。

例子

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下面是一些Gerstenhaber代數的例子,因為構造都比較複雜,因此只列出結果,有興趣的讀者可以參考所給文獻資料:

  1.  是一個李代數,記 為其所對應的鏈復形,則在其上有一個自然的Gerstenhaber代數結構,乘法由外積給出,李括號為從 上誘導的李括號給出(這是一個比較平凡的例子,因此一般人並不重點討論,但它在構造Gerstenhaber代數的同倫論中非常重要);
  2.  是數域 上的結合代數,Gerstenhaber證明: 霍赫希爾德上同調形成一個Gerstenhaber代數[7]
  3.  little disks operad,Cohen證明: 的同調群形成一個Gerstenhaber代數[8]
  4. Lian和Zuckerman證明了,在弦理論的背景(background,指從弦理論裏面抽象出來的代數結構)中,存在一個Gerstenhaber代數結構[6]
  5.  是一個緊緻光滑的流形, 是它的自由環路空間(free loop space)。Chas和Sullivan證明: 的同調群形成一個Gerstenhaber代數[5]


參見

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參考資料

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  1. ^ Kontsevich, M. and Soibelman, Y., Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255-307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
  2. ^ McClure, J.E. and Smith, J.H., A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000), 153-193, Contemp. Math., 293, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
  3. ^ Tamarkin, D., Formality of chain operad of small squares, arxiv: math.QA/9809164
  4. ^ Voronov, A.A., Homotopy Gerstenhaber algebras. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 307-331, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Chas, M. and Sullivan, D., String topology, arXiv: math-GT/9911159.
  6. ^ 6.0 6.1 Lian, B.H., Zuckerman, G.J., New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
  7. ^ Gerstenhaber, M., The cohomology structure of an associative ring. Ann. of Math. (2) 78, 1963, 267-288.
  8. ^ Cohen, F.R., The homology of  -spaces, , in The homology of iterated loop spaces, Lecture Notes in Math., vol. 533, Springer-Verlag, 1976, 207-351.