模稜函數

模糊函數是一套用於信號分析與信號仿真設計的數學方法，為菲利普·伍德沃德（Philip Woodward）在1953年所提出。其初始目的是用來分析雷達回波信號受時間延遲和多普勒效應的影響，但在隨後的發展中，也廣泛被應用於時頻分析、信號處理等領域。

定義

函數$s(t)$的模糊函數$A(\tau ,\eta )$定義為：

$A(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{j2\pi \eta t}dt$

其中，$\tau$代表和初始信號的時間差分值，而$\eta$則代表和初始信號的頻率差分值，而這樣的二維空間稱為模糊域（Ambiguity Domain）。以雷達應用來講，$\tau$反映了發射信號和回波信號的時間延遲（Time Delay），$\eta$則反映了兩信號間的多普勒頻移（Dopple Frequency Shift）。星號$*$代表對函數取其共軛複數。上式為自時域定義之模糊函數。我們也可以通過函數$s(t)$的傅里葉變換對$S(f)$從頻域定義之：

$A(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)S^{*}(f-\eta )e^{j2\pi \tau f}df$

經修改後，模糊函數也可以用對稱的形式定義，成為對稱模糊函數（Symmetric Ambiguity Function）：

$A_{s}(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{j2\pi \eta t}dt=\int _{-\infty }^{\infty }S(f+{\frac {\eta }{2}})S^{*}(f-{\frac {\eta }{2}})e^{j2\pi \tau f}df$

${\displaystyle }$

基本性質

模糊函數有下列幾種基本性質：

最大值

模糊函數最大值永遠發生在模糊域的原點$(0,0)$：

$\left|A(\tau ,\eta )\right|\leq \left|A(0,0)\right|$

對稱性

模糊函數為一對稱函數：

$A(\tau ,\eta )=A^{*}(-\tau ,-\eta )$

時間比例調整

$s^{\prime }(t)=s(\alpha t)\Rightarrow A^{\prime }(\tau ,\eta )={\frac {1}{\left|\alpha \right|}}A(\alpha \tau ,{\frac {\eta }{\alpha }})$

時間位移

$s^{\prime }(t)=s(t-\Delta t)\Rightarrow A^{\prime }(\tau ,\eta )=A(\tau ,\eta )e^{-j2\pi f\Delta t}$

調製

$s^{\prime }(t)=s(t)e^{j2\pi ft}\Rightarrow A^{\prime }(\tau ,\eta )=A(\tau ,\eta )e^{-j2\pi f\tau }$

和自相關函數的關係

當我們設定頻率差值$\eta$為0時，模糊函數將退化為信號$s(t)$的自相關函數：

$A(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )dt$

常見信號之模糊函數

方波

若方波定義為：:$rect(t,T)={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}\left|t\right|\leq {\frac {T}{2}}\\0,&{\mbox{if}}\left|t\right|>{\frac {T}{2}}\end{cases}}$,則其模糊函數$A_{rect}(\tau ,\eta )$計算如下：
$A_{rect}(\tau ,\eta )=\int _{-\infty }^{\infty }rect(t+{\frac {\tau }{2}})rect^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{j2\pi \eta t}dt$
$=\int _{-(T-\tau )/2}^{(T-\tau )/2}e^{j2\pi \eta t}dt={\begin{cases}(T-\left|\tau \right|sinc[\eta (T-\left|\tau \right|)])&{\mbox{for}}\left|\tau \right|\leq T\\0{\mbox{for}}\left|\tau \right|>T\end{cases}}$

高斯函數

對一個高斯信號$g(t)=e^{-\alpha t^{2}}$而言，其模糊函數為：
$A_{G}(\tau ,\eta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{\frac {-\alpha (\tau ^{2}+\eta ^{2})}{2}}$

和維格納分佈的關係

模糊函數是伍德沃德依據維格納分佈改良而來。二者之間詳細的關係請參閱模糊函數與韋格納分佈的關係。

應用

模糊函數一開始是由雷達領域研究學者菲利浦·伍德沃德由維格納分佈發展而來，因此其最初的應用領域多與雷達相關，是該領域相當重要的基礎理論。隨着時間的推進和時頻分析方法的興起，越來越多的時頻分析方法使用了模糊函數的概念。例如，西摩·斯坦於1981年提到，模糊函數可以用來估算具有相同成分的兩個信號，因受外加噪聲干擾而造成的頻率、時間位移；而時頻分析工具科恩系列分佈則是運用一函數之模糊函數並搭配適當的遮罩函數，做為分析該函數時頻特性的基礎。