歐拉乘積

數論中，歐拉乘積（英語：Euler product）是指狄利克雷級數可表示為一指標為素數的無窮乘積。這一乘積以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的名字命名，他證明了黎曼ζ函數可表示為此無窮乘積的形式。

定義

假設$a$為一積性函數，則狄利克雷級數

$\sum _{n}a(n)n^{-s}\,$

等於歐拉乘積

$\prod _{p}P(p,s)\,$

其中，乘積對所有素數$p$進行，$P(p,s)$則可表示為

$1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .$

這可以看作形式母函數，形式歐拉乘積展開的存在性與$a(n)$為積性函數兩者互為充要條件。

$a(n)$為完全積性函數時可得到一重要的特例。此時$P(p,s)$為等比級數，有

$P(p,s)={\frac {1}{1-a(p)p^{-s}}},$

當$a(n)=1$時即為黎曼ζ函數，更一般的情形則是狄利克雷特徵。

參考文獻

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
• Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001  (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
• G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Chapter 17 gives further examples.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"