牛頓法(英語:Newton's method)又稱為牛頓-拉弗森方法(英語:Newton-Raphson method),它是一種在實數體和複數體上近似求解方程的方法。方法使用函數泰勒級數的前面幾項來尋找方程的根。

起源

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牛頓法最初由艾薩克·牛頓在《流數法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛頓去世後於1736年公開發表)中提出。約瑟夫·鮑易也曾於1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法說明

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藍線表示方程 而紅線表示切線。可以看出  更靠近 所要求的根 

首先,選擇一個接近函數 零點 ,計算相應的 和切線斜率 (這裏 表示函數 導數)。然後我們計算穿過點 並且斜率為 的直線和 軸的交點的 坐標,也就是求如下方程的解:

 

我們將新求得的點的 坐標命名為 ,通常 會比 更接近方程 的解。因此我們現在可以利用 開始下一輪疊代。疊代公式可化簡為如下所示:

 

已有證明牛頓疊代法的二次收斂[1]必須滿足以下條件:
 ; 對於所有 ,其中 為區間[αr, α + r],且 在區間其中 內,即   的;
對於所有  是連續的;
 足夠接近根 α

然而當  處有m重根時,這時牛頓法會降為線性收斂,雖然使用牛頓法也可以繼續算下去,但收斂速度會減慢。[2]

其它例子

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第一個例子

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求方程 的根。令 ,兩邊求導,得 。由於 ,則 ,即 ,可知方程的根位於  之間。我們從 開始。

 

第二個例子

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牛頓法亦可發揮與泰勒展開式,對於函式展開的功能。

  次方根。

 

  

而a的m次方根,亦是x的解,

以牛頓法來疊代:

 

 

 

(或  

應用

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求解最值問題

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牛頓法也被用於求函數的極值。由於函數取極值的點處的導數值為零,故可用牛頓法求導函數的零點,其疊代式為

 

求拐點的公式以此類推

電腦程式

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可以用程式寫出牛頓法:

例題:  求x

用Python:

from math import pow
def f(x):
    y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1
    return y
def dx(x):
    y = (3*x*x)-(20*x)+1
    return y
x = 1
for i in range(1000):
    x = x - (f(x)/dx(x))
print(x)

用C語言:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
double x = 1.0;
double f(double x){
    double y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1;
    return y;}
double dx(double x){
    double y = (3*x*x)-(20*x)+1;
    return y;}
int main (){
    for(int i=0;i<1000;i++){
    x = x - (f(x)/dx(x));}
    printf(" %f",x);
    return 0;
}

只要修改f(x)和dx(x)函數就可以解其他方程式

註解

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  1. ^ 存档副本 (PDF). [2018-06-26]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-04-24). 
  2. ^ 張宏偉,金光日,施吉林,董波 (編). 计算机科学计算 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 138. ISBN 9787040365955. 

外部連結

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