環索線(strophoid)是幾何學中的一種曲線,由給定曲線C、點A(固定點)及點O(極點),依以下方式產生:令L是通過O,和曲線C的交點為K的變動直線。令P1P2是直線L上的兩點,這兩點和K的距離和AK的距離相同(因此AP1P2在圓心為O為圓上)。P1、P2軌跡即為曲線C的環索線,相對於極點O及固定點A。 其中AP1AP2會呈直角。

C是直線,AC上,而O不在C上,此曲線稱為斜環索線(oblique strophoid)。若OAC垂直,此曲線則稱為正環索線(right strophoid),正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線(foliate)。

方程式

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極坐標

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令曲線C的極坐標方程為 ,其中原點為O,令A的直角坐標為(a, b),若 是曲線上的一點,KA的距離為

 .

OK線上的點,其極座標角度為 ,線上和點K距離為d的點,和原點的距離為 。因此,環索線的方程如下

 

另一種極座標公式

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C是極點為OA麥克勞林分角線英語sectrix of Maclaurin時,可以用以下的極座標公式。

O為原點,A為點(a, 0),令K為曲線上一點,線OK和X軸的夾角為 ,而  是線AK和和X軸的夾角。假設 可以表示為 的函數,假設 。令 K的角度,則 。可以用正弦定律,將rl來表示。因為

 

P1P2OK線上和K點的距離等於AK的點,調整編號使 ,且  是頂角為 的等腰三角形,剩下的兩角  角度為 AP1線和x軸角度為

 

同理可得AP2和x軸的角度為

 .

環索線的極座標式可以表示以下有l1l2的式子:

 
 

l ,曲線C是極點為OA的麥克勞林分角線,此時,l1l2會有相同的型式,因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線,或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置,也會有較簡單的極座標方程。

特例

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斜環索線

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C是通過A點的直線。依照上式的表示法, ,其中 為常數,則  。相對原點O點環索線的極座標(斜環索線)方程為

 

以及

 .

可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到A點,用−a代替a,可得

 ,

旋轉角度 後可得

 .

在直角坐標系,調整常數的參數,可得

 .

是三次曲線,在極座標下是有理函數,其叉點在(0, 0),漸近線為直線y=b

正環索線

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正環索線

 代入下式

 

可得

 .

此即為正環索線,對應直線Cy軸,A點為原點,O點為點(a,0)的情形。

笛卡爾坐標系方程為

 .

此曲線為笛卡兒葉形線[1],直線x = −a是二個分支的漸近線。此曲線還有二條漸近線,分別是複數平面上的

 

令圓C是通過OA的圓,其中O為原點,A的座標為(a, 0)。依以上的表示法, ,其中 是常數。則 以及 ,所得相對於圓O環索線(oblique strophoid)的極座標方程為

 

 .

這是二個通過OA,在C點形成角度 的圓。

相關條目

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參考資料

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  1. ^   Chisholm, Hugh (編). Logocyclic Curve, Strophoid or Foliate. Encyclopædia Britannica 16 (第11版). London: Cambridge University Press: 919. 1911. 

外部連結

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